Question

З точки кола проведено діаметр і хорду завдовжки 30см. Проекція хорди на діаметр менша від радіуса кола на 7см. Знайдіть радіус кола.

Answer 1

З'єднаємо точку з кінцями діаметру. Отримаємо прямокутний трикутник з меншим катетом 30 см.

Приймемо проекцію хорди на діаметр за х.

Радіус буде тоді х + 7.

Висота ділить трикутник на два, теж прямокутних.

У прямокутному трикутнику справедливі наступні співвідношення:

1) h² = a₁ · b₁;

2) b² = b₁ · c;

3) a² = a₁ · c,

де b₁ і a₁ - проекції катетів b і a на гіпотенузу з

Застосуємо перший отошенія і прирівняємо його до квадрату висоти з трикутника з хордою і її проекціея.

h² = x (x + 14)

h² = 30²-x²

x (x + 14) = 30²-x²

x² + 14х = 900 -x²

2x² + 14х-900 = 0

x² + 7х-450 = 0

Вирішуємо рівняння через дискримінант.

D = 1849

√D = 43

Рівняння має 2 корені.

x 1 = 18,

x 2 = -25 (не підходить).

Радіус кола дорівнює

18 + 7 = 25 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі скористаємося геометричними властивостями кола та хорди.

1. Позначимо радіус кола як "r".

2. Зауважимо, що пряма, яка проходить через центр кола і середину хорди, є перпендикуляром до хорди. Також, центр кола, точка, в якій перетинаються діаметр і хорда, лежить на одному лінійному центральному відрізку.

3. Позначимо відстань від центру кола до хорди як "h" (це є висота трикутника, утвореного діаметром і хордою).

4. За теоремою Піфагора, у прямокутному трикутнику, утвореному діаметром, хордою та відрізком, який з'єднує центр кола і середину хорди, виконується наступна рівність:

   (1) (h/2)^2 + (r - 7)^2 = r^2,

де "h/2" - половина висоти, або половина проекції хорди на діаметр.

5. Згадаємо також, що проекція хорди на діаметр менша від радіуса кола на 7 см, тобто "h/2 = r - 7".

6. Підставимо значення "h/2" в рівняння (1):

   (r - 7)^2 + (r - 7)^2 = r^2.

7. Розкриємо дужки і спростимо рівняння:

   r^2 - 14r + 49 + r^2 - 14r + 49 = r^2.

8. Перенесемо все до одного боку рівняння:

   r^2 - 28r + 98 = 0.

9. Знайдемо корені цього квадратного рівняння:

   r = (28 ± √(28^2 - 4198)) / 2, r = (28 ± √(784 - 392)) / 2, r = (28 ± √392) / 2, r = (28 ± 2√98) / 2, r = 14 ± √98.

10. Знаходимо два можливих значення радіуса:

a) r = 14 + √98 ≈ 14 + 9.899 ≈ 23.899 см, b) r = 14 - √98 ≈ 14 - 9.899 ≈ 4.101 см.

Отже, коло може мати два різних радіуси: близько 23.899 см та близько 4.101 см. Щоб визначити, який з цих радіусів є правильним, потрібні додаткові дані або умови задачі. Наприклад, можливо, що в задачі є ще якась інформація, яка дозволяє вибрати правильний радіус.