Question

з точки перетину бісектрис рівнобедреного трикутника опущено перпендикулярно до бічної сторони, що ділить її на відрізки, різниця між якими 4 см. Ця точка ділить бісектрису, проведену до основи, на відрізки у відношенні 5:3. Обчисліть периметр трикутника, якщо кут при основі трикутника менший за 60 градусів​

Answer 1

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника. Пусть OD = 3x и OB = 5x. CD = CE как касательные к окружности; OE = OD = 3x как радиусы, проведенные в точку касания.

По условию $CE-BE=4$. По т. Пифагора из треугольника BOE

$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=\sqrt{25x^2-9x^2}=4x$

Далее из прямоугольного треугольника BDC по т. Пифагора:

$BC^2=BD^2+CD^2\\ (BE+CE)^2=(OB+OD)^2+CE^2\\ (BE+BE+4)^2=(8x)^2+(BE+4)^2\\ (2BE+4)^2-(BE+4)^2=64x^2\\ (2BE+4-BE-4)(2BE+4+BE+4)=64x^2\\ BE(3BE+8)=64x^2\\ 3BE^2+8BE-64x^2=0\\ 3\cdot (4x)^2+8\cdot 4x-64x^2=0\\ 48x^2-64x^2+32x=0\\ -16x^2+32x=0\\ -16x(x-2)=0\\ x_1=0\\ x_2=2$

Первый корень не удовлетворяет условию, значит x = 2 см.

Тогда BE = 4x = 8 см, значит CE = BE + 4 = 8 + 4 = 12 см

CD = CE = 12 см, а так как BD является медианой и высотой, то

AC = 2 * CD = 2 * 12 = 24 см; AB = BC = CE + BE = 12 + 8 = 20 см

P = AB + BC + AC = 20 + 20 + 24 = 64 см.

Answer 2

Позначимо сторону рівнобедреного трикутника як "a", а основу трикутника як "b". Також, позначимо точку перетину бісектрис і бічної сторони як "O", точку де бісектриса перетинає основу як "M", а точку, де опущений перпендикуляр перетинає бічну сторону як "N".

За умовою задачі ми знаємо, що точка "O" ділить бісектрису у відношенні 5:3. Таким чином, маємо:

MO:OM = 5:3

Також нам дано, що різниця між відрізками, на які точка "O" ділить бічну сторону, дорівнює 4 см. Запишемо це:

ON - NO = 4

Далі, ми знаємо, що трикутник рівнобедрений, тому бісектриса, проведена з вершини кута при основі, є також медіаною, і медіана ділить основу пополам. Тобто:

MB = BM = b/2

Ми можемо скласти систему рівнянь на основі цих умов:

1. MO/OM = 5/3
2. ON - NO = 4
3. MB = BM = b/2

Давайте виразимо OM і NO через b і знайдемо значення b:

З рівняння 1, маємо: OM = (5/(5+3)) * MO = (5/8) * MO

З рівняння 3, маємо: BM = b/2

З рівняння 2, маємо: NO = ON - 4

Так як трикутник рівнобедрений, то можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника MON: MO^2 = ON^2 + NM^2

Підставимо отримані вирази: (MO + NO)^2 = ON^2 + (b/2)^2

Підставимо вирази з рівняння 1 та 2: (5/8 * MO + ON - 4)^2 = ON^2 + (b/2)^2

Тепер знаходимо значення MO з рівняння 1: MO = (8/5) * OM

Підставимо це вираз в рівняння вище: [(8/5) * OM + ON - 4]^2 = ON^2 + (b/2)^2

Розкриємо дужки: (64/25) * OM^2 + ON^2 + 16 - (64/5) * OM + 2 * ON * (8/5) * OM - 8 * ON = ON^2 + (b/2)^2

Спростимо: (64/25) * OM^2 + 16 - (64/5) * OM + (16/5) * ON * OM = (b/2)^2

Також ми знаємо, що різниця між відрізками, на які точка "O" ділить бічну сторону, дорівнює 4 см: ON - NO = 4

Підставимо вирази, які містять NO та ON: ON - (ON - 4) = 4

Спростимо: ON - ON + 4 = 4

Отримали 4 = 4, це твердження завжди вірне, а це означає, що ми не отримаємо нову інформацію про значення b з умови ON - NO = 4.

Таким чином, система рівнянь, яку ми отримали, не має унікального розв'язку для b.

Відповідь: без додаткової інформації неможливо обчислити периметр трикутника.