Question

Две окружности c1, c2 проходят через центр O окружности c и соприкасаются с ним внутренним образом в точках A и B соответственно. Докажите, что на прямой AB лежит общая точка окружностей c1, c2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:  Решение : ////////////////////

Answer 2

Для доказательства, что общая точка окружностей c1 и c2 лежит на прямой AB, рассмотрим следующую конструкцию:

Пусть C1 и C2 - центры окружностей c1 и c2 соответственно. Так как окружности c1 и c2 соприкасаются с окружностью c в точках A и B, соответственно, то отрезки OC1 и OC2 являются радиусами окружностей c1 и c2.

Обозначим через P точку пересечения отрезков OC1 и OC2. Так как окружности c1 и c2 проходят через центр O окружности c, то треугольники OAC1 и OBC2 являются прямоугольными.

Таким образом, по теореме о прямом угле, углы OAC1 и OBC2 прямые. Отсюда следует, что треугольники OAC1 и OBC2 подобны.

Так как треугольники OAC1 и OBC2 подобны, то соотношение их сторон можно записать следующим образом:

OC1/OA = OC2/OB.

Учитывая, что OC1 = OC2 (так как оба радиуса окружностей c1 и c2 равны радиусу окружности c), получаем:

OC1/OA = OC1/OB.

Сокращая общий множитель OC1, получаем:

1/OA = 1/OB.

Это равенство можно переписать в виде:

1/OA + 1/OB = 0.

Заметим, что данное уравнение является уравнением прямой AB в инверсии относительно окружности c (так как точки A и B лежат на окружности c). Следовательно, точка P, лежащая на пересечении отрезков OC1 и OC2, принадлежит прямой AB.

Таким образом, общая точка окружностей c1 и c2 лежит на прямой AB, что и требовалось доказать.