Question

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см , а радиус окружности , вписанный в треугольник ,равен 3 см

Answer 1

Ответ: 8 см и 15 см.

Объяснение:

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике находится по формуле:

$r=\dfrac{a+b-c}{2}$

где a, b -- катеты, c -- гипотенуза.

Подставим известные значения:

$3=\dfrac{a+b-17}{2} \\\\a+b-17=6\\\\a+b=23\;\;(1)$

По теореме Пифагора имеем:

$a^2+b^2=c^2\\\\a^2+b^2=289\;\;(2)$

Из равенств (1) и (2) составляем систему:

$\left \{{{\big{a+b=23,}} \atop {\big{a^2+b^2=289}}} \right. \\\\\left \{ {{\big{a=23-b,\quad\quad\quad}} \atop {\big{(23-b)^2+b^2=289}}} \right. \\\\\left \{ {{\big{a=23-b,\quad\quad\quad}} \atop {\big{(23-b)^2+b^2=289}}} \right. \\\\\\529-46b+b^2+b^2=289\\2b^2-46b+240=0\\b^2-23b+120=0\\\\D=23^2-4\cdot120=529-480=49\\\\b=\dfrac{23б7}{2}\\\\ b_1=15\\b_2=8\\\\ \left \lbrack {\big{\left \{ {\big{b=15,\quad} \atop \big{a=23-15}} \right. } \atop {\left \{ {\big{b=8,\quad\;\;} \atop \big{a=23-8}}\right.}\right.$

$\left \lbrack {\big{\left \{ {\big{b=15,} \atop \big{a=8\;\;}} \right. } \atop {\left \{ {\big{b=8,\;\;} \atop \big{a=15}}\right.}\right.$

Отсюда катеты равны 15 см и 8 см или 8 см и 15 см (что одно и тоже в нашем случае).

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r = \frac{{a + b - c}}{2}$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $a$ и $b$ - катеты треугольника, $c$ - гипотенуза.

В данном случае $c = 17$ см и $r = 3$ см. Подставим известные значения в формулу и найдем сумму катетов:

$3 = \frac{{a + b - 17}}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$6 = a + b - 17$

Теперь добавим 17 к обеим частям уравнения:

$23 = a + b$

Таким образом, сумма катетов равна 23 см.

Однако, поставленная задача не имеет единственного решения. Мы можем выбрать различные значения для катетов, при условии, что их сумма составляет 23 см.

Например, возможны следующие варианты:

• Катет 1: 5 см, Катет 2: 18 см
• Катет 1: 10 см, Катет 2: 13 см
• Катет 1: 15 см, Катет 2: 8 см

Таким образом, существует бесконечное количество решений для данной задачи.