Question

Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Луч O2A пересекает первую окружность в точке C. Докажите, что точки O1, O2, B, C лежат на одной окружности.

Answer 1

См. чертеж.

Если построить точку D как продолжение O1A, также как C лежит на продолжении O2A, а потом провести прямые NC и MD (MA и NA - диаметры), то они пересекутся в какой-то точке K.

Прямые MC и NK перпендикулярны, поскольку угол MCN вписанный и опирается на диаметр. Аналогично перпендикулярны и MK и ND;

Отсюда следует вот что.

Если обозначить угол MKN как K, то

KD = KN*cos(K); и KC = KM*cos(K);

=> KD*KM = KN*KM*cos(K)=KC*KN;

то есть степени точки K относительно обеих окружностей равны, и она обязательно принадлежит радикальной оси AB.

То есть три прямые KN, KM и AB пересекаются в одной точке K.

Если теперь соединить точки M и N c точкой B, то углы MBA и NBA будут прямыми, так как это опять вписанные углы, опирающиеся на диаметры. Поэтому отрезки MB и NB принадлежат одной прямой, перпендикулярной прямой AB (на которой лежит и точка K).

Получился треугольник MNK, в котором A - ортоцентр, O1 и O2 - середины отрезков высот от вершины до ортоцентра MA и NA, а точка B - основание высоты KB.

Отсюда следует, что окружность O1O2B - это окружность Эйлера для MNK. Разумеется, она содержит все основания высот - и С, и D тоже. А еще - середины сторон...

Если кто-то не заметил - уже все кончилось :) Задача решена.

Answer 2

Чтобы доказать, что точки O1, O2, B и C лежат на одной окружности, нам необходимо показать, что угол O1BC равен углу O1OC2. Для этого мы можем использовать свойства пересекающихся окружностей.

По условию, луч O2A пересекает первую окружность в точке C. Также дано, что O1 и O2 - центры соответствующих окружностей.

Поскольку O1 и O2 - центры окружностей, OC1 и OC2 - радиусы окружностей, и O1C1 = O2C2 = OC (так как точка C находится на пересечении окружностей), мы можем утверждать, что треугольник O1CO2 - равнобедренный треугольник. То есть, O1C = O2C.

Также, из свойств радиусов окружностей, O1B = O1C и O2B = O2C.

Теперь мы можем сравнить углы. Угол O1BC равен углу O1CB, так как O1B = O1C. Угол O1CB равен углу O1OC2, так как треугольник O1CO2 - равнобедренный. Следовательно, угол O1BC равен углу O1OC2.

Таким образом, мы доказали, что угол O1BC равен углу O1OC2. По свойству окружностей, если два угла над одной дугой равны, то точки, образующие эти углы, лежат на одной окружности.

Следовательно, точки O1, O2, B и C лежат на одной окружности.