Question

Доведіть що коли діагоналі чотирикутника перетинаються то його вершини лежать в одній площині

Answer 1

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и только одну. Раз диагонали пересекаются, то проводим через них плоскость. В ней будут лежать все точки диагоналей, в том числе и вершины четырехугольника.

Answer 2

Для доведення цього факту розглянемо чотирикутник ABCD з діагоналями AC і BD, які перетинаються в точці O. Нам потрібно показати, що всі вершини цього чотирикутника лежать в одній площині.

Зауважимо, що ми можемо розділити чотирикутник ABCD на два трикутники: AOB і COD, де O - точка перетину діагоналей.

Розглянемо трикутник AOB. Він складається з вершин A, O і B, а також зі сторін AO, OB і AB. Так як точки A, O і B лежать на одній прямій (діагональ AC), то вони також лежать в одній площині.

Аналогічно розглянемо трикутник COD, який складається з вершин C, O і D, а також зі сторін CO, OD і CD. Так як точки C, O і D лежать на другій прямій (діагональ BD), то вони також лежать в одній площині.

Отже, ми довели, що вершини чотирикутника ABCD (тобто A, B, C і D) лежать в одній площині, оскільки вони утворюють два трикутники (AOB і COD), причому вершини кожного трикутника лежать в одній площині.