Question

Около квадрата площадью S описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть величина постоянная, и найдите эту величину.

Answer 1

К - произвольная точка на окружности, AC и BD - диаметры окружности  ⇒  ∠АКС = ∠BKD = 90°

AC² = AK² + KC² , BD² = BK² + KD²

AK² + KC² + BK² + KD² = AC² + BD² = 2•AC² = 4•AC²/2 = 4•S

Ответ: 4S

Answer 2

Пусть квадрат имеет сторону длиной a, а окружность описана вокруг него.

Для начала, рассмотрим точку на окружности и обозначим ее как P. Затем, проведем четыре отрезка из этой точки к вершинам квадрата (A, B, C и D), таким образом, что эти отрезки будут являться радиусами окружности.

Сумма квадратов расстояний от точки P до вершин квадрата будет равна: PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2.

Теперь докажем, что эта сумма является постоянной величиной, независимо от выбранной точки на окружности.

Доказательство:

1. Возьмем другую точку на окружности, обозначим ее как Q. Точка Q тоже лежит на окружности и имеет равное расстояние до вершин квадрата. Соответственно, для точки Q сумма квадратов расстояний до вершин квадрата будет равна: QA^2 + QB^2 + QC^2 + QD^2.

2. Так как отрезки PA и QA равны (они являются радиусами одной и той же окружности), то PA^2 = QA^2. То же самое верно для отрезков PB и QB, PC и QC, PD и QD.

3. Таким образом, сумма квадратов расстояний для точки P и для точки Q будет идентичной: PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 = QA^2 + QB^2 + QC^2 + QD^2.

4. Поскольку точки P и Q были выбраны произвольно на окружности, это равенство справедливо для любой точки на окружности.

Это доказывает, что сумма квадратов расстояний от любой точки на окружности до вершин квадрата является постоянной величиной. Теперь давайте найдем эту величину.

Рассмотрим правильный квадрат с центром O и радиусом r (расстояние от центра квадрата до вершины). Тогда сумма квадратов расстояний от любой точки на окружности квадрата до его вершин равна 4r^2.

Это доказывает, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата равна 4r^2, где r - радиус описанной окружности.