Question

Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(4;3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 кв. единицам.

Answer 1

Рассмотрим вариант, когда прямая имеет угловой коэффициент k>0, тогда она наклонена к положительному направлению оси ОХ под острым углом. Из чертежа видно, что угол наклона не может быть тупым, т.к. тогда S треугольника будет больше 3 .

От координатного угла отсекается ΔВОК , площадь которого  S=3. Это прямоугольный треугольник, его площадь равна половине произведения катетов., то есть  $S=\frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot OK\cdot OB=3$ .

Пусть ОК=3 ед. , а ОВ=2 ед. , тогда $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$ .

Точка В в этом случае будет иметь координаты В(2,0), а точка К(0,-3) .

Подставим в уравнение прямой   $y=kx+b$  координаты точки А(4,3) и , например, В(2,0), получим:

$\left \{ {{3=4k+b} \atop {0=2k+b\, |\cdot (-2)}} \right.\; \oplus \; \left \{ {{3=-b} \atop {2k=-b}} \right.\; \; \left \{ {{b=-3} \atop {k=\frac{3}{2}}} \right.\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \underline {y=\frac{3}{2}x-3}$

Или можно использовать то, что точка пересечения с осью ОУ имеет координаты К(0,-3). Тогда уравнение прямой имеет вид:  y=kx-3 . И в это уравнение уже подставить координаты точки А(4,3) :

$3=4k-3\; \; \Rightarrow \; \; 4k=6\; \; ,\; \; k=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\; \; \Rightarrow \; \; \underline {y=\frac{3}{2}-3}$

Также можно было составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В ( или А и К) .

Смотри рисунок.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем координаты точки B, где прямая отсекает координатный угол треугольника. Поскольку треугольник имеет площадь 3 квадратных единицы, высота треугольника, проведенная из начала координат (0,0), равна 2, так как 1/2 * основание * высота = 3, и основание равно 2 (так как треугольник находится в первой четверти координатной плоскости). Таким образом, B(2, 0).

2. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(4, 3) и B(2, 0). Угловой коэффициент между двумя точками вычисляется по формуле: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек. Подставляя значения, получаем: m = (0 - 3) / (2 - 4) = -3 / -2 = 3 / 2.

3. Используем уравнение прямой в общем виде, используя известную точку A(4, 3) и найденный угловой коэффициент m: y - y1 = m(x - x1). Подставляя значения, получаем: y - 3 = (3/2)(x - 4).

4. Перепишем уравнение в удобной форме: умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дроби: 2y - 6 = 3(x - 4).

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку A(4, 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 квадратных единицы, будет иметь вид: 2y - 6 = 3(x - 4).