Question

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120 гр внутри него расположены две равные касающиеся окружности каждая из которых касается основания и боковой стороны треугольника найдите радиусы окружностей?

Answer 1

.......................

Answer 2

Давайте обозначим радиусы двух окружностей как r1 и r2. Поскольку обе окружности касаются основания треугольника и боковой стороны, мы можем провести следующие линии:

1. Проведем линию, соединяющую центр первой окружности с вершиной треугольника и основанием треугольника. Обозначим точку пересечения этой линии с основанием треугольника как точку A.

2. Проведем линию, соединяющую центр второй окружности с вершиной треугольника и основанием треугольника. Обозначим точку пересечения этой линии с основанием треугольника как точку B.

3. Проведем линию, соединяющую центры двух окружностей. Обозначим точку пересечения этой линии с основанием треугольника как точку C.

Исходя из симметрии фигуры, линии AC и BC являются высотами треугольника, а значит, их длины равны.

Также, поскольку радиусы окружностей касаются боковой стороны треугольника, мы можем провести линию, перпендикулярную боковой стороне треугольника и проходящую через центры окружностей. Обозначим точку пересечения этой линии с боковой стороной треугольника как точку D.

Теперь у нас есть правильный треугольник ACD со стороной AD, длина которой равна r1 + r2, и углом D равным 120 градусам.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все стороны равны. Таким образом, сторона AD также равна стороне CD треугольника ACD, которая равна половине основания равнобедренного треугольника.

Дано, что боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Таким образом, AD = CD = 4 / 2 = 2.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ADC. Это равносторонний треугольник со стороной 2 и углом D равным 120 градусам.

Мы можем использовать формулу для нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:

r1 + r2 = AD = 2

Учитывая, что радиусы обеих окружностей равны, мы можем записать это уравнение как:

2r = 2

Отсюда следует, что радиус каждой окружности r1 = r2 = 1.