Question

В треугольнике ABC биссектрисы углов AA1 и BB1 пересекаются в точке O, ∠ABC = 40°, ∠A1OB1 = 130°. Докажите, что треугольник ABC не является остроугольным. Даю 50 баллов

Answer 1

Объяснение:

рассмотрим треугольник АОВ :

угол АОВ=А1ОВ1 т.к. они вертикальны

А/2+В/2+130°=180°

А/2=180°-130°-В/2=50-20°=30°

А=60°

С=180°-40°-60°=80°

все углы меньше 90°, отсюда треугольник остроугольный ...

вуаля :)

Answer 2

Для доказательства, что треугольник ABC не является остроугольным, мы можем использовать свойства биссектрис треугольника.

Обозначим угол BAC как α. Так как BB₁ является биссектрисой угла ABC, то угол ABB₁ равен 20° (половина угла ABC).

Также, так как AA₁ является биссектрисой угла BAC, то угол BAA₁ равен 20° (половина угла BAC).

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем выразить угол ABC следующим образом: угол ABC = 180° - α - 40° = 140° - α.

Из условия известно, что угол A₁OB₁ равен 130°.

Теперь рассмотрим треугольник A₁OB₁. Сумма углов в этом треугольнике равна 180°. Значит, мы можем записать: угол A₁OB₁ + угол AOB + угол A₁BO = 180°.

Угол AOB равен 180° - угол ABC - угол BAA₁. Подставляя известные значения, получаем:

130° + (180° - α - 40°) + 20° = 180°.

Упрощая уравнение, получаем:

130° + 180° - α - 40° + 20° = 180°.

Раскрываем скобки и сокращаем подобные члены:

290° - α = 180°.

Теперь выразим α:

α = 290° - 180° = 110°.

Таким образом, угол BAC равен 110°.

Если треугольник ABC был бы остроугольным, то все его углы были бы меньше 90°. Однако, мы видим, что угол BAC равен 110°, что противоречит определению остроугольного треугольника.

Следовательно, треугольник ABC не является остроугольным.