Question

Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(9;-12) и перпендикулярно к прямой, соединяющий точки B(2;-4) и C(3;-1).

Answer 1

Найдем уравнение для 2 прямой по формуле y=kx+b

$\left \{ {{-4=2k+b} \atop {-1=3k+b}} \right.$

$\left \{ {{b=-2k-4} \atop {-1=3k+b}} \right.$

$\left \{ {{b=-2k-4} \atop {-1=3k-2k-4}} \right.$

$\left \{ {{-1=3*3+b} \atop {k=3}} \right.$

$\left \{ {{b=-10} \atop {k=3}} \right.$

Значит уравнение для 2 прямой: y=3x-10

Т. к.  2 прямая перпендикулярна к 1, то угловой коэффициент 1 прямой обратно пропорционален, т. е. $k=-\frac{1}{3}$. Но она же должна проходить через точку А(9;-12), тогда:

$-12=-\frac{1}{3} *9+b$

$b=-9$

Тогда уравнение первой прямой будет выглядеть так: $y=-\frac{1}{3} x-9$

Answer 2

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A(9, -12) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки B(2, -4) и C(3, -1), мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем направляющий вектор прямой BC, используя координаты точек B и C. Направляющий вектор получается путем вычитания координат точек:

   v = BC = (xC - xB, yC - yB) = (3 - 2, -1 - (-4)) = (1, 3).

2. Так как искомая прямая перпендикулярна прямой BC, то ее направляющий вектор будет перпендикулярен вектору BC. Для этого мы можем взять перевернутый и переставленный вектор BC, чтобы получить направляющий вектор прямой перпендикулярной к BC:

   u = (-v.y, v.x) = (-3, 1).

3. Теперь, когда у нас есть направляющий вектор перпендикулярной прямой u и координаты точки A, мы можем записать уравнение прямой в форме "y = kx + b", где k - коэффициент наклона, b - свободный член (y-перехват):

   Подставим координаты точки A и направляющий вектор перпендикулярной прямой в уравнение и найдем b:

   -12 = -3 * 9 + b -12 = -27 + b b = -12 + 27 b = 15.

   Итак, уравнение прямой, проходящей через точку A(9, -12) и перпендикулярной прямой BC, будет:

   y = -3x + 15.