Question

Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;-2;3) B( 2;-1;5) ,C(-2;6;0)

Answer 1

Ответ:

$A(1,-2,3)\; \; ,\; \; B(2,-1,5)\; ,\; \; C(-2,6,0)\\\\\overline {AB}=(2-1;-1+2;5-3}=(1;1;2)\\\\\overline {AC}=(-2-1;6+2;0-3)=(-3;8;-3)\\\\\\\overline {AB}\times \overline {AC}=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&2\\-3&8&-3\end{array}\right|=-19\vec{i}-3\vec{j}+11\vec{k}\\\\\\|\overline {AB}\times \overline {AC}|=\sqrt{19^2+3^2+11^2}=\sqrt{491}\\\\S(\Delta )=\frac{\sqrt{491}}{2}$

Answer 2

Для вычисления площади треугольника, заданного координатами его вершин, можно воспользоваться формулой Герона или формулой половины векторного произведения. В данном случае мы воспользуемся вторым способом.

Пусть векторы AB и AC - это векторы, идущие от вершины A к вершинам B и C соответственно. Тогда площадь треугольника ABC может быть вычислена как половина длины векторного произведения этих векторов.

1. Вычислим вектор AB:

AB = B - A = (2, -1, 5) - (1, -2, 3) = (2 - 1, -1 - (-2), 5 - 3) = (1, 1, 2)

2. Вычислим вектор AC:

AC = C - A = (-2, 6, 0) - (1, -2, 3) = (-2 - 1, 6 - (-2), 0 - 3) = (-3, 8, -3)

3. Вычислим векторное произведение векторов AB и AC:

AB × AC = (1, 1, 2) × (-3, 8, -3)

Для вычисления векторного произведения воспользуемся правилом:

AB × AC = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)

AB × AC = (1*(-3) - 1*(-3), 2*(-3) - (-3)1, 18 - 2*1) = (-3 + 3, -6 + 3, 8 - 2) = (0, -3, 6)

4. Вычислим длину вектора AB × AC:

|AB × AC| = sqrt(0^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(0 + 9 + 36) = sqrt(45)

5. Вычислим площадь треугольника ABC:

Площадь = 1/2 * |AB × AC| = 1/2 * sqrt(45) ≈ 1/2 * 6.708 ≈ 3.354

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет примерно 3.354 квадратных единицы.