Question

Найти прямую проходчщую через точку М(1;2;3) перпендикулярно плоскости треугольника с вершинами А(1;-1;0), В(0;0;3) С(3;1;-1)

Answer 1

Нормальный вектор заданной плоскости и будет направляющим вектором для заданной прямой.

Находим нормальный вектор как результат векторного произведения АВ х АС.

АВ: (-1; 1; 3), АС: (2; 2; -1).

i      j       k |       i         j    

-1     1       3 |     -1         1        

2     2      -1 |      2        2      =    -1i + 6j -2k -1j - 6i - 2k =    

                                             = -7i + 5j - 4k = (-7; 5; -4).

Теперь подставляем координаты точки М и получаем уравнение.

(x - 1)/(-7) = (y - 2)/5 = (z - 3)/(-4).

Answer 2

Чтобы найти прямую, проходящую через точку M(1, 2, 3) и перпендикулярную плоскости треугольника с вершинами A(1, -1, 0), B(0, 0, 3) и C(3, 1, -1), мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите векторы AB и AC, соединяющие вершины треугольника. AB = B - A = (0, 0, 3) - (1, -1, 0) = (-1, 1, 3) AC = C - A = (3, 1, -1) - (1, -1, 0) = (2, 2, -1)

2. Найдите векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормаль к плоскости треугольника. N = AB × AC

   | i j k | | -1 1 3 | | 2 2 -1 |

   N = (-5, 7, 4)

3. Так как прямая должна быть перпендикулярна плоскости треугольника, то её направляющий вектор должен быть параллелен вектору N.

4. Запишите уравнение прямой в параметрической форме с использованием точки M(1, 2, 3) и направляющего вектора, параллельного N. Уравнение прямой: P = M + t * N

   P = (x, y, z) - точка на прямой M = (1, 2, 3) - заданная точка t - параметр

   Подставив значения, получим: P = (1, 2, 3) + t * (-5, 7, 4)

   Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 2, 3) и перпендикулярной плоскости треугольника, будет: x = 1 - 5t y = 2 + 7t z = 3 + 4t