Question

Задача №2. Точка 0 — центр квадрата ABCD. На сторонах ВС и CD, как на основаниях, построены во Внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники ВСІ и CDK. Точка M — середина СІ.Докажите, что прямые ОМ и ВК перпендикулярны.​

Answer 1

Решение : ////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности прямых ОМ и ВК воспользуемся свойствами равнобедренных треугольников и свойствами квадратов.

Пусть О — центр квадрата ABCD, а М — середина стороны СІ. Рассмотрим равнобедренные треугольники СІВ и СДК, построенные на основаниях ВС и CD внешним образом.

1. Докажем, что треугольник СІВ — равнобедренный: У нас есть ОМ — медиана треугольника СІВ, и ОМ делит СІВ на два равных треугольника СОМ и МВ. Так как треугольник СОМ — прямоугольный (содержит прямой угол в точке О), и ОМ — медиана, то он же и высота этого треугольника. Следовательно, СО = МВ, что означает, что треугольник СІВ равнобедренный.

2. Также докажем, что треугольник СДК — равнобедренный: Рассмотрим точку L — середина стороны CD. Треугольник СДК также можно разделить на два равных треугольника СКЛ и ЛД. Так как СК — медиана в треугольнике СДК, то он же и высота этого треугольника. Таким образом, СК = ЛД, что означает, что треугольник СДК равнобедренный.

3. Далее, рассмотрим треугольник СОК: Мы уже доказали, что СО = МВ и СК = ЛД. Также мы знаем, что квадрат ABCD — равносторонний, поэтому ОК = МК = ЛК.

Теперь мы можем сделать выводы:

Так как СО = МВ, а ОК = МК, то СОК — прямоугольный треугольник с прямым углом в точке О. Это означает, что прямая ОМ является высотой треугольника СОК.

Также мы знаем, что СК = ЛД, а ОК = МК, что делает СКМ и ЛКМ прямоугольными треугольниками с прямым углом в точке К. Это означает, что прямая ВК является высотой треугольников СКМ и ЛКМ.

Из этого следует, что прямые ОМ и ВК являются высотами двух прямоугольных треугольников СОК и СКМ (ЛКМ), имеющими общий катет КМ (так как точка К — середина стороны СД).

Так как две высоты прямоугольных треугольников, исходящие из общей вершины К, пересекаются под прямым углом, то прямые ОМ и ВК перпендикулярны.

Таким образом, прямые ОМ и ВК перпендикулярны, что и требовалось доказать.