Question

Доказать, что в выпуклом четырехугольнике точки-середины диагоналей и середины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, -лежат на одной прямой.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Доказать, что в выпуклом четырехугольнике точки-середины

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся координатным методом. Предположим, что у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, где точки A, B, C и D имеют координаты (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) и (x4, y4) соответственно.

Точка M1 - середина отрезка AC. Ее координаты можно вычислить как: M1 = ((x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2).

Точка M2 - середина отрезка BD. Ее координаты: M2 = ((x2 + x4) / 2, (y2 + y4) / 2).

Точка M3 - середина отрезка AB. Ее координаты: M3 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).

Точка M4 - середина отрезка CD. Ее координаты: M4 = ((x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2).

Теперь нам нужно доказать, что точки M1, M2, M3 и M4 лежат на одной прямой.

Рассмотрим векторы:

V1 = (x3 - x1, y3 - y1) - вектор, направленный от точки A до точки C. V2 = (x4 - x2, y4 - y2) - вектор, направленный от точки B до точки D.

Также рассмотрим векторы:

V3 = (x2 - x1, y2 - y1) - вектор, направленный от точки A до точки B. V4 = (x4 - x3, y4 - y3) - вектор, направленный от точки C до точки D.

Если точки M1, M2, M3 и M4 лежат на одной прямой, то векторы V1 и V2 будут коллинеарны, и векторы V3 и V4 будут коллинеарны.

Проверим коллинеарность векторов:

V1 и V2 коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю: V1 × V2 = (x3 - x1)(y4 - y2) - (y3 - y1)(x4 - x2) = 0.

V3 и V4 коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю: V3 × V4 = (x2 - x1)(y4 - y3) - (y2 - y1)(x4 - x3) = 0.

Если оба выражения равны нулю, то точки M1, M2, M3 и M4 лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что в выпуклом четырехугольнике точки-середины диагоналей и середины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.