Question

У коло, діаметр якого дорівнює корінь 12, вписано чотирикутник АВСD. Знайдіть діагональ BD, якщо кут BDA = 30 градусів.​

Answer 1

Відповідь:

BD = √3

Пояснення:

(див. малюнок до задачі)

1) Отож, маємо справу з вписаним чотирикутником. Для початку, давай я просто наведу одну єдину формулу чи то відношення, якою (яким) ми будемо користуватися:

1) a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R - розширена теорема синусів (див. мал.). Цю Теорему будемо застосовувати до трикутника ABD, де <BAD = 30°.

2) Оскільки діаметр дорівнює подвоєному радіусу, то радіус дорівнює:

$\sqrt{12} = 2R\\R = \frac{\sqrt{12} }{2} = \sqrt{3}$;

3) З трикутника ABD за пропорційністю сторони і протилежних кутів до цієї сторони (тобто за формулою!), маємо, що:

$><em></em></p> <p><strong></strong><img src=$

$2BD = 2\sqrt{3};$

$BD = \sqrt{3}$.

Answer 2

Давайте позначимо центр кола як точку O, діагональ BD як l, і точку перетину діагоналей чотирикутника ABCD як точку E.

За властивостями вписаного чотирикутника, кут між хордою і дугою дорівнює половині кута, опираючись на той самий дугу. Отже, кут BDA дорівнює половині кута BOA.

Оскільки діаметр кола дорівнює кореню з 12, радіус кола дорівнює половині діаметра, тобто радіус r = √12 / 2 = √3.

Тепер ми можемо знайти кут BOA: BOA = 2 * BDA = 2 * 30° = 60°.

Також, оскільки BOA - це рівнобедрений трикутник (так як OB = OA, оскільки обидва вони є радіусами), ми знаємо, що кут OAB дорівнює (180° - BOA) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 60° / 2 = 30°.

Тепер, ми можемо розглянути прямокутний трикутник ADB, де кут BAD = 30°, кут ABD = 90° (так як це прямокутний кут, опираючись на діаметр кола), і ми хочемо знайти довжину діагоналі BD = l.

Ми можемо застосувати тригонометрію для прямокутних трикутників: tan(BAD) = BD / AD, де AD - це відрізок, який з'єднує центр кола O і точку D, і його довжина дорівнює радіусу кола r = √3.

Таким чином, ми маємо: tan(30°) = BD / √3.

Тепер знайдемо BD: BD = tan(30°) * √3.

Використовуючи тригонометричний тангенс 30°, який дорівнює 1/√3, ми отримуємо: BD = (1/√3) * √3 = 1.

Таким чином, діагональ BD має довжину 1.