Question

ПОМОГИТЕ!!!СРОЧНО !!!ГЕОМЕТРИЯ !!!!30баллов Докажите, что когда все двугранные углы при ребрах основания равны, то основание ее высоты - центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Т.к. все двугранные углы пирамиды равны, то равны и все три стороны при этих углах. Значит в основании лежит равносторонний треугольник. Перпендикуляр, опущенный в центр данного треугольника будет высотой пирамиды. Центр вписанной окружности–точка пересечения диагоналей этого треугольника (лежащего в основании)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим пирамиду с вершиной O и основанием ABCD, где AB = BC = CD = DA. Предположим, что углы при ребрах основания (т.е., углы BAC, CBD, CDA и DAB) равны между собой.

Пусть точка I - центр окружности, вписанной в основание ABCD. Такая окружность называется окружностью инкруга. Она касается всех сторон основания ABCD и находится в плоскости основания.

Докажем, что точка I - это центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Для начала рассмотрим треугольник ABC, состоящий из трех сторон основания пирамиды. Учитывая, что углы при ребрах основания равны между собой, получим:

∠BAC = ∠BCD (обозначим этот угол за α). ∠ABC = ∠ADC (обозначим этот угол за β). ∠CDA = ∠CAB (обозначим этот угол за γ).

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы можем выразить угол γ через углы α и β:

γ = 180° - α - β.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD, состоящий из всех сторон основания пирамиды. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому:

∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°.

Заменим значения углов нашими обозначениями α, β и γ:

(180° - α) + α + α + (180° - α - β) = 360°.

Сократим слагаемые:

360° - β = 360°.

Таким образом, мы видим, что угол β равен 0°. Это означает, что четырехугольник ABCD является вписанным четырехугольником с углом β в 0°, а это возможно только в том случае, когда точка I (центр окружности инкруга) совпадает с центром окружности, вписанной в четырехугольник ABCD.

Следовательно, мы доказали, что основание ее высоты - центр окружности, вписанной в основание пирамиды, когда все двугранные углы при ребрах основания равны.