Question

Треугольник задан своими вершинами А(8; 6), В(6; 4), С(-2; 14). Составить уравнения медиан и высоты АК.

Answer 1

1) Находим основания медиан к ак середины сторон.

Основания медиан:      

Точка А1  Точка В1  Точка С1  

  х    у            х    у             х      у

  2   9            3    10             7      5 .

Определяем векторы медиан по разности координат.

Векторы медиан      

  АА1           ВВ1             СС1  

Δx      Δy      Δx Δy             Δx Δy

-6       3     -3          6              9          -9 .

Теперь составляем уравнения медиан. Ответ:

АА1: (х - 8)/(-6) = (у - 6)/3,

ВВ1:  (х - 6)/(-3) = (у - 4)/6,

СС1:  (х + 2)/9 = (у - 14)/(-9).

2) Сначала находим уравнение стороны ВС, к которой проведена высота АК.

Находим вектор ВС:(-2-6=8; 14-4=10) = (-8; 10)

ВС:(х - 6)/(-8) = (у - 4)/10.

Приводим к общему знаменателю, получаем общее уравнение ВС (сократим знаменатели на 2):

ВС: 5х - 30 = -4у + 16.

ВС: 5х + 4у - 46 = 0.

Для перпендикуляра АК: 4х -5у + С = 0. Подставим координаты точки А: 32 - 30 + С = 0. Отсюда С = -2.

Ответ. АК: 4х - 5у - 2 = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение медианы и высоты треугольника, проходящей через вершину А(8; 6) и основаниями в вершинах А и С, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдите координаты точки K - середины стороны AC. Для этого можно использовать формулу нахождения средней точки отрезка: Координаты точки K: K( (x_А + x_С)/2, (y_А + y_С)/2 )

   В нашем случае: x_А = 8, y_А = 6 x_С = -2, y_С = 14

   К( (8 + (-2))/2, (6 + 14)/2 ) = К( 6/2, 20/2 ) = К( 3, 10 )

2. Теперь у нас есть точка K, через которую проходит медиана АК. Уравнение медианы можно записать в виде прямой, проходящей через точки А и К. Для этого используем уравнение прямой вида y = kx + b, где k - коэффициент наклона, b - свободный член.

   a) Найдем коэффициент наклона k медианы АК: k = (y_К - y_А) / (x_К - x_А) k = (10 - 6) / (3 - 8) k = 4 / (-5) k = -4/5

   b) Теперь, чтобы найти свободный член b, подставим координаты точки А и значение k в уравнение прямой: y_А = k * x_А + b 6 = (-4/5) * 8 + b 6 = -32/5 + b b = 6 + 32/5 b = (30 + 32)/5 b = 62/5

   Таким образом, уравнение медианы АК имеет вид: y = (-4/5)x + 62/5

3. Теперь перейдем к построению уравнения высоты из вершины А(8; 6) на сторону СК (перпендикулярно стороне СК).

   a) Найдем коэффициент наклона k высоты: Для перпендикулярных прямых произведение их коэффициентов наклона равно -1. k_высоты = -1 / k_медианы k_высоты = -1 / (-4/5) k_высоты = 5/4

   b) Теперь, чтобы найти свободный член b высоты, подставим координаты точки А и значение k_высоты в уравнение прямой: y_А = k_высоты * x_А + b 6 = (5/4) * 8 + b 6 = 10 + b b = 6 - 10 b = -4

   Таким образом, уравнение высоты АК имеет вид: y = (5/4)x - 4

Теперь у нас есть уравнения медианы АК и высоты АК.