Question

Дано вектори a (4; 2) і b (x; −4). При якому значенні x вектори a і b : 1) колінеарні; 2) перпендикулярні.

Answer 1

a(4; 2) b(x; -4)

1) Вектори колінеарні якщо координати векторів є пропорційними

4/x=2/-4

4/-8=2/-4      

-0,5=-0,5

x=-8

2) Вектори перпендикулярні якщо а*b=0

a(4;2)*b(x;-4) = 4x -8

4x-8=0

x=2

Answer 2

Вектори a і b колінеарні, якщо вони паралельні і мають спільний напрямок. Для того щоб вони були колінеарні, їхня співвідношення повинно бути таким:

a = λb,

де λ - деяке дійсне число.

Дано a = (4, 2) і b = (x, -4). Підставляючи значення, отримуємо:

(4, 2) = λ(x, -4).

Для того щоб вони були колінеарні, компоненти векторів повинні задовольняти таке співвідношення:

4 = λx, 2 = -4λ.

Перший рівняння може бути вирішений для λ:

λ = 4/x.

Підставимо це значення в друге рівняння:

2 = -4(4/x), 2 = -16/x, x = -16/2, x = -8.

Отже, при x = -8 вектори a і b будуть колінеарними.

Тепер розглянемо випадок, коли вектори a і b перпендикулярні. Два вектори перпендикулярні, коли їхні скалярні добутки дорівнюють нулю:

a ⋅ b = 0,

де a ⋅ b - скалярний добуток векторів a і b.

Дано a = (4, 2) і b = (x, -4). Скалярний добуток:

a ⋅ b = 4x + 2(-4) = 4x - 8.

Для того щоб вектори були перпендикулярні, скалярний добуток повинен дорівнювати нулю:

4x - 8 = 0, 4x = 8, x = 2.

Отже, при x = 2 вектори a і b будуть перпендикулярними.