Question

Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1/4 площади данного

Answer 1

Треугольники подобны по 3 углам.

Коэффициент подобия большего треугольника к меньшему: k = 2/1 = 2.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (S1, — площадь большего треугольника, S2 — площадь меньшего треугольника):

$\frac{S_1}{S_2} =2^2\\\\S_2=\frac{S_1}{4} =\frac{1}{4}S_1$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства утверждения о том, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1/4 площади данного треугольника, давайте рассмотрим следующий метод.

Пусть у нас есть треугольник ABC с вершинами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) и C(x₃, y₃). Средняя линия треугольника делит его на два треугольника равной площади. Пусть точка D - середина стороны AB (то есть D((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)), а точка E - середина стороны AC (то есть E((x₁ + x₃)/2, (y₁ + y₃)/2)).

1. Поиск координат вершины треугольника, образованного средней линией и сторонами исходного треугольника: Точка F - это середина стороны BC, которую можно найти как F((x₂ + x₃)/2, (y₂ + y₃)/2).

2. Найдем координаты вершин треугольника DEF, образованного средней линией и сторонами исходного треугольника:

• Вершина D: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
• Вершина E: ((x₁ + x₃)/2, (y₁ + y₃)/2)
• Вершина F: ((x₂ + x₃)/2, (y₂ + y₃)/2)

3. Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона: Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC, тогда s - полупериметр: s = (a + b + c) / 2 Площадь треугольника ABC равна: Area_ABC = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

4. Площадь треугольника DEF: Для нахождения площади треугольника DEF, мы можем воспользоваться тем, что середина стороны треугольника делит сторону пополам и создает два равных треугольника с общим основанием. Площадь треугольника DEF равна половине площади треугольника ABC.

Теперь нам нужно доказать, что площадь треугольника DEF равна 1/4 площади треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC: Area_ABC = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Площадь треугольника DEF: Area_DEF = 0.5 * Area_ABC

Площадь DEF в отношении к ABC: Area_DEF / Area_ABC = 0.5 * Area_ABC / Area_ABC = 0.5

Таким образом, площадь треугольника DEF составляет 1/4 площади треугольника ABC. Это подтверждает, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник с площадью, равной 1/4 площади данного треугольника.