Question

8 клас, тригонометрические функции Найдите диагональ ромба со стороной 6 см. и острым углом L​

Answer 1

Дано : ромб ABLC ,  AB=BL=LC=AC=6 см, ∠CLB = ∠L

Найти : AL, BC

Решение :

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов ромба и делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим  ΔСLO;  CL = 6 см - гипотенуза, ∠CLO=∠L/2

Отношения в прямоугольном треугольнике

$\sin\angle CLO=\dfrac{CO}{CL}\\\\CO=CL\cdot \sin\angle CLO\ \ \ \Rightarrow\ \ \ CO=6\sin\dfrac{\angle L}2\\\\\cos\angle CLO=\dfrac{LO}{CL}\\\\LO=CL\cdot \cos\angle CLO\ \ \ \Rightarrow\ \ \ LO=6\cos\dfrac{\angle L}2$

Диагонали вдвое больше найденных катетов

$BC=2\cdot 6\sin\dfrac{\angle L}2\boldsymbol{=12\sin\dfrac{\angle L}2}$  см

$AL=2\cdot 6\cos\dfrac{\angle L}2\boldsymbol{=12\cos\dfrac{\angle L}2}$  см

Answer 2

Для нахождения диагонали ромба, у которого одна сторона равна 6 см, и угол между этой стороной и диагональю равен L, можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Пусть d - диагональ ромба, а L - угол между диагональю и одной из сторон ромба.

Так как ромб имеет четыре равных стороны, то его углы все острые и равны между собой. Обозначим один из острых углов ромба за α. Тогда можно найти угол L​, используя свойство ромба:

L = 180° - 2α

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный одной из сторон ромба, диагональю и высотой, опущенной из вершины ромба на эту сторону.

Так как угол между диагональю и стороной ромба равен L, а ромб имеет все стороны равными, то угол между диагональю и высотой равен (90° - L)​.

Теперь, используя тригонометрические функции для прямоугольного треугольника, получим:

sin(90° - L) = высота / диагональ cos(90° - L) = сторона / диагональ

Выразим высоту и сторону через данную сторону ромба и найдем значение диагонали:

sin(90° - L) = высота / d cos(90° - L) = 6 / d

высота = d * sin(90° - L) 6 / d = cos(90° - L)

d * sin(90° - L) = 6 / cos(90° - L)

d * sin(90° - L) = 6 / sin(L)

d = (6 / sin(L)) * sin(90° - L)

Таким образом, диагональ ромба d равна:

d = (6 / sin(L)) * sin(90° - L)

Подставьте значение угла L в градусах для расчета диагонали ромба.