Question

Площа бічної поверхні циліндра більша за площу його основи в 3 рази. Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо діагональ його осьового перерізу дорівнює 5 см.

Answer 1

   Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади его основания в 3 раза. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения равна 5 см.

————

Формула площади боковой поверхности цилиндра S(б)=H•2πR, где Н -  высота цилиндра, R- радиус основания.

Формула площади основания цилиндра ( круга) S(о)=πR²

По условию H•2πR=3πR².

   Из этого отношения выводим 2Н=3R и Н=1,5 R.

Осевое сечения цилиндра - прямоугольник. Диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Здесь диагональ D = гипотенуза=5 см, катеты Н=1,5R, и d=2R.

По т.Пифагора D²=(1,5H)²+(2R)²

25=6,25R² ⇒  R=2 см, Н=1,5•2=3 см

S(полн)=Ѕ(бок)+2•Ѕ(осн)

Ѕ(полн)=3•4π+2˙π•2²=20π см²

Answer 2

Решение смотрите во вложении

Answer 3

Позначимо площу основи циліндра через S, а площу бічної поверхні через L. За умовою задачі, маємо наступне відношення:

L = 3S.

Також задано, що діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 5 см. Діагональ осьового перерізу циліндра є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного діаметром основи і висотою бічної поверхні. Позначимо висоту бічної поверхні циліндра через h, а радіус основи через r. За теоремою Піфагора маємо:

r^2 + h^2 = 5^2.

Ми знаємо, що площа кола (основи циліндра) дорівнює πr^2, а площа бічної поверхні циліндра - 2πrh. Підставивши вираз для h з рівняння Піфагора, можемо отримати:

h = √(25 - r^2).

Тепер можемо підставити цей вираз для h у вирази для площі основи та бічної поверхні:

S = πr^2, L = 2πrh = 2πr√(25 - r^2).

За умовою задачі, L = 3S, тому:

2πr√(25 - r^2) = 3πr^2.

Поділимо обидві сторони на 2πr:

√(25 - r^2) = (3/2)r.

Піднесемо обидві сторони до квадрату:

25 - r^2 = (9/4)r^2.

Перенесемо все до одного боку:

(9/4)r^2 + r^2 = 25, (13/4)r^2 = 25, r^2 = (4/13) * 25, r^2 = 100/13, r = √(100/13), r = 10/√13.

Отже, радіус основи циліндра дорівнює 10/√13, а висота бічної поверхні h = √(25 - r^2) = √(25 - (100/13)) = √(25/13).

Тепер можемо знайти площу повної поверхні циліндра:

Площа основи: S = πr^2 = π * (10/√13)^2, Площа бічної поверхні: L = 2πrh = 2π * (10/√13) * √(25/13).

Площа повної поверхні:

П = S + L = π * (10/√13)^2 + 2π * (10/√13) * √(25/13).