Question

Отрезки MN и PQ – диаметры окружности. Докажите, что хорды MP и QN равны.

Answer 1

Пожалуйста!) Всегда рада помочь!)

Answer 2

Для доказательства равенства хорд MP и QN воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорд, проведенных из центра окружности.

Из условия задачи известно, что отрезки MN и PQ являются диаметрами окружности. Следовательно, точки M, N, P и Q лежат на окружности, а центр окружности находится в середине отрезка MN.

Обозначим центр окружности как O. Так как MN является диаметром, то точка O является серединой отрезка MN. Также известно, что отрезки MP и NQ являются хордами, проведенными из центра O.

Теорема о перпендикулярности хорд, проведенных из центра, утверждает, что хорда, проведенная из центра окружности, перпендикулярна к соответствующей хорде, если эта хорда проходит через точку пересечения секущей и диаметра, проведенного через центр окружности.

Таким образом, хорды MP и NQ перпендикулярны к хордам PQ и MN соответственно, и точки пересечения хорд MP и NQ с хордами PQ и MN лежат на их серединах.

Так как точка O является серединой отрезка MN, то хорда MP перпендикулярна к хорде PQ и проходит через середину PQ, аналогично, хорда NQ перпендикулярна к хорде MN и проходит через середину MN.

Следовательно, хорды MP и NQ равны, так как они являются перпендикулярами к соответствующим хордам PQ и MN, проходящими через их середины.

Таким образом, мы доказали, что хорды MP и NQ равны.