Question

Найдите уравнение плоскости проходящей через точки A(3,0,4) и B(5,2,6) и параллельные плоскости 2x+4y+6z-7=0. Помогите пожалуйста.

Answer 1

Даны точки A(3,0,4) и B(5,2,6) и  плоскость 2x+4y+6z-7=0.

Нормальный вектор плоскости равен (2; 4; 6).

Составим уравнение плоскости. проходящей через точку А параллельно заданной плоскости.

2(x - 3) + 4(y - 0) + 6(z - 4) = 0.

2x - 6 + 4y + 6z - 24 = 0.

2x + 4y + 6z - 30 = 0.    

Проверим, проходит ли эта плоскость через точку В. подставив её координаты в уравнение полученной плоскости.

2*5 + 4*2 + 6*6 - 30 = 24, но не равно 0.

Ответ: через заданные точки невозможно провести плоскость, параллельную заданной.

Answer 2

Для начала, найдем направляющий вектор для плоскости, параллельной данной плоскости 2x + 4y + 6z - 7 = 0. Направляющий вектор можно получить из коэффициентов при x, y и z:

Направляющий вектор = (2, 4, 6)

Затем мы можем использовать этот направляющий вектор и точку A(3, 0, 4) для записи уравнения плоскости в параметрической форме:

P(t) = A + t * направляющий_вектор P(t) = (3, 0, 4) + t * (2, 4, 6) P(t) = (3 + 2t, 4t, 4 + 6t)

Теперь мы хотим, чтобы данная параметрическая форма также проходила через точку B(5, 2, 6). Подставив координаты B в уравнение, мы можем найти t:

(3 + 2t, 4t, 4 + 6t) = (5, 2, 6)

Из этой системы уравнений получаем: 3 + 2t = 5 => 2t = 2 => t = 1 4t = 2 => t = 0.5 4 + 6t = 6 => 6t = 2 => t = 1/3

Таким образом, получаем три значения t: t = 1, t = 0.5 и t = 1/3. Мы можем взять любое из этих значений для параметрической формы, и она будет проходить через точки A и B и быть параллельной заданной плоскости.

Выберем, например, t = 1. Тогда параметрическое уравнение плоскости будет:

P(t) = (3 + 2 * 1, 4 * 1, 4 + 6 * 1) P(t) = (5, 4, 10)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A(3, 0, 4) и B(5, 2, 6) и параллельной плоскости 2x + 4y + 6z - 7 = 0, имеет вид:

5x + 4y + 10z - D = 0

Чтобы найти значение D, подставим координаты точки A в это уравнение:

5 * 3 + 4 * 0 + 10 * 4 - D = 0 15 + 0 + 40 - D = 0 55 - D = 0 D = 55

Итак, уравнение плоскости имеет вид:

5x + 4y + 10z - 55 = 0