Question

Дан прямоугольник АBCD. Через его вершину B проведена прямая BP, перпендикулярная к его плоскости. Найти площади треугольников PAD и PDC, если AB=6см , BD=10см, BP=8см.

Answer 1

1. Рассмотрим треугольник ABD

∠ BAD = 90° (как угол прямоугольника) => треугольник ABD прямоугольный, BD - гипотенуза

По теореме Пифагора находим катет AD:

$AD = \sqrt{BD^{2} - AB^{2} } = \sqrt{10^2 - 6^2}= \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ см

BC = AD = 8 см (как стороны прямоугольника)

AB = DC = 6 см (как стороны прямоугольника)

2. Проведём AP. Треугольник ABP - прямоугольный, т.к. прямая BP ⊥ AB (т. к. перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD) по условию.

По теореме Пифагора находим гипотенузу AP:

$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}= 10$ см

3. Проведём прямую PD и рассмотрим треугольник PAD

По теореме о трёх перпендикулярах PA ⊥ AD

(т.к. PB ⊥ AD (т.к. ⊥ плоскости) и AB ⊥ AD (как смежные стороны прямоугольника) )

(PB - перпендикуляр, PA - наклонная, BA - проекция наклонной)

∠PAD = 90° => $S_{PAD} = \frac{1}{2} PA*AD= \frac{1}{2} * 10 * 8 = 40$ см²

4. Проведём PC. Треугольник BPC - прямоугольный, т.к. прямая BP⊥BC (т.к. ⊥ плоскости прямоугольника ABCD) по условию.

По теореме Пифагора находим гипотенузу PC:

$PC = \sqrt{BC^{2}+ BP^2 } =\sqrt{64+64} = 8\sqrt{2}$ см

5. Рассмотрим треугольник PDC

По теореме о трёх перпендикулярах PC ⊥ DC

(т.к. PB ⊥ DC (т.к. ⊥ плоскости) и BC ⊥ CD (как смежные стороны прямоугольника) )

(PB - перпендикуляр, PC - наклонная, BC - проекция наклонной)

∠PCD = 90° => $S_{PDC} = \frac{1}{2} PC * DC = \frac{1}{2}*6*8\sqrt{2}= 24\sqrt{2}$ см²

Ответ: Площадь треугольника PAD = 40 см²; Площадь треугольника PDC = 24√2 см²

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и знание о площади треугольника.

1. Рассмотрим треугольник ABD. У нас есть две известные стороны: AB = 6 см и BD = 10 см. Мы можем найти длину стороны AD, используя теорему Пифагора:

   AD² = AB² + BD² AD² = 6² + 10² AD² = 36 + 100 AD² = 136 AD = √136 AD ≈ 11.66 см

2. Теперь мы можем найти площадь треугольника PAD. Мы знаем длины его сторон: PA = AD ≈ 11.66 см и PD = BP = 8 см. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

   s = (PA + AD + PD) / 2 s = (11.66 + 11.66 + 8) / 2 s = 31.32 / 2 s ≈ 15.66 см

   Площадь треугольника PAD: S(PAD) = √(s * (s - PA) * (s - AD) * (s - PD)) S(PAD) = √(15.66 * (15.66 - 11.66) * (15.66 - 11.66) * (15.66 - 8)) S(PAD) ≈ √(15.66 * 4 * 4 * 7.66) S(PAD) ≈ √(1228.7744) S(PAD) ≈ 35.07 см²

3. Теперь рассмотрим треугольник PDC. У нас уже есть одна известная сторона: PD = BP = 8 см. Нам также известны длины сторон AD ≈ 11.66 см и CD ≈ BD = 10 см. Мы можем найти высоту треугольника PDC, опущенную на сторону PD, используя площадь треугольника PAD и известную сторону PD:

   S(PAD) = 0.5 * PD * h 35.07 = 0.5 * 8 * h h = 35.07 / 4 h ≈ 8.77 см

   Теперь мы можем найти площадь треугольника PDC:

   S(PDC) = 0.5 * PD * h S(PDC) = 0.5 * 8 * 8.77 S(PDC) ≈ 35.08 см²

Итак, площадь треугольника PAD ≈ 35.07 см², а площадь треугольника PDC ≈ 35.08 см².