Question

1)Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите периметр и площадь ромба. 2)В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если угол CAD равен 30°, AD = 12 см. 3)В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, AM = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM. 4)Прямоугольный треугольник с катетом 4 см вписан в окружность. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.

Answer 1

1) периметр= 20 см потому что диагонали ромба пересекаются  под прямым углом образовывая прямоугольный треугольник , за теоремой Пифагора находим сторону  ромба 5 см

площадь считаем за формулой 1/2 диагональ на диагональ

S=1/2×d1×d2=1/2×6×8=24cм²

2) треугольник  ACD прямоугольный с углом 30° за свойством угла против угла 30° CD=6 см значит АВ=6 см

у правильной трапеции углы при основе равны , значит угол А равен углу Д равен 60° . Поскольку угол САД равен 30 то угол САВ тоже равен 30

за свойством 2 параллельных прямых и сечной угол  АСВ тоже равен 30 тоесть треугольник АСВ равнобедренный и ВС равен 6 см

высота трапеции  √27 потому что ,  если опустить перпендикуляр с точки С на АД то за теоремой Пифагора  можно найти  высоту

площадь = (6+12)/2×√27= 9√27 см²

3) и 4) прости, не знаю

Answer 2

1. Периметр ромба можно найти, умножив длину одной стороны на 4 (поскольку все стороны ромба равны):

Периметр = 4 * сторона

В данном случае сторона ромба равна половине суммы диагоналей, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом:

Сторона = (8 + 6) / 2 = 7 см

Периметр = 4 * 7 см = 28 см

Площадь ромба можно найти, умножив длины его диагоналей и разделив на 2:

Площадь = (диагональ1 * диагональ2) / 2 Площадь = (8 см * 6 см) / 2 = 24 см²

2. Давайте обозначим точку пересечения диагонали АС и боковой стороны CD как точку Е. Так как диагональ АС перпендикулярна стороне CD, то треугольник ACE прямоугольный. У нас также есть информация о длине AD и угле CAD.

Площадь треугольника ACE можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * AC * CE

Для начала найдем длину AC, используя прямоугольный треугольник ACD:

AC = AD / cos(CAD) AC = 12 см / cos(30°) ≈ 13.85 см

Теперь мы можем найти длину CE, используя тот факт, что AC и CE являются катетами прямоугольного треугольника ACE:

CE = sqrt(AC^2 - AE^2) CE = sqrt((13.85 см)^2 - (12 см)^2) ≈ 5.49 см

Площадь треугольника ACE:

Площадь = 0.5 * 13.85 см * 5.49 см ≈ 38.04 см²

Поскольку треугольник ACE составляет половину площади трапеции ABCD, площадь всей трапеции равна:

Площадь трапеции = 2 * Площадь треугольника ACE = 76.08 см²

3. Для нахождения длин СМ и DM нам нужно использовать свойства хорд, пересекающихся в точке.

Сначала найдем расстояние от точки М до центра окружности (половина длины хорды AM):

MC = AM / 2 = 12 см / 2 = 6 см

Теперь можем применить свойство пересекающихся хорд:

СМ * МВ = DM * MC

СМ = (DM * MC) / МВ СМ = (DM * 6 см) / 10 см = 0.6 * DM

Аналогично для хорды CD:

DM * DC = CM * MC

DM = (CM * MC) / DC DM = (CM * 6 см) / 23 см ≈ 0.26 * CM

Таким образом, у нас есть система уравнений:

СМ = 0.6 * DM DM = 0.26 * CM

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти длины СМ и DM.