Question

Через точку перетину діагоналей трапеції паралельна основам проведено пряму, що перетинає бічні сторони вточках M і N, Знайдіть довжину відрізка MN, якщо основи трапеції дорівнюють 7 см і 3 см

Answer 1

Такой отрезок равен среднему гармоничному двух оснований.

Полная теорема -

Если отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, а также пересекает его боковые стороны в двух точках, и также параллелен его основаниям, то он равен среднему гармоничному оснований трапеции.

То есть, MN = 2*7 см*3 см/7 см+3 cм = 42 см²/10 cм = 4,2 см.

Ответ: 4,2 см.

Answer 2

Позначимо вершини трапеції так: A і B - довша та коротша основи відповідно, C і D - серединні точки бічних сторін. Також позначимо точку перетину діагоналей як O.

За властивостями трапеції, діагоналі є взаємно перпендикулярними і ділять одна одну навпіл. Отже, CO = OD і AO = OB.

Довжина відрізка AO = OB = (7 см + 3 см) / 2 = 5 см (половина суми довжин основ).

Також, так як відрізок MN паралельний основам та перетинає бічні сторони трапеції, то відношення довжин відрізків на одній бічній стороні однакове: MC / MD = NA / NB.

Оскільки AO = OB, то з подібності трикутників AMC і BND випливає, що MC / ND = AC / BD.

А так як AC = BD, то MC = ND.

Отже, точки M і N розділяють бічну сторону трапеції на дві рівні частини.

Загальна довжина бічної сторони дорівнює сумі довжин відрізків MC і ND: MC + ND = MN.

Але так як MC = ND, то MN = 2 * MC.

Таким чином, MN = 2 * 5 см = 10 см.

Отже, довжина відрізка MN дорівнює 10 см.