Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4 : 5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 104 см.

Answer 1

Ответ:

36 см; 36 см; 32 см

Объяснение:

Примем за х 1 часть,тогда

AB=4х+5х=9х

ВС=АВ=9х (по условию)

АС=4х+4х=8х ( по свойствам двух касательных,проведённых из одной точки)

104=2*9х+8х

104 = 26х

х=104:26

х=4

АВ=4*9=36 см

ВС=36 см

АС=8*4=32 см

Answer 2

Обозначим сторону равнобедренного треугольника как $a$, а катеты равнобедренного треугольника (то есть боковые стороны) как $b$. Также обозначим точку касания вписанной окружности как $T$, точку, где боковая сторона делится в отношении 4:5, как $P$, и вершину угла при основании как $A$.

Поскольку треугольник равнобедренный, $b$ равно $b$ и $c$ (где $c$ - основание треугольника).

Известно, что $AP = 4x$ и $PT = 5x$, где $x$ - некоторая длина.

Теперь мы можем выразить длину боковой стороны $b$ через $x$ по теореме Пифагора для треугольника $APT$:

$$b^2 = AP^2 + PT^2$$

$$b^2 = (4x)^2 + (5x)^2$$

$$b^2 = 16x^2 + 25x^2$$

$$b^2 = 41x^2$$

$$b = \sqrt{41}x$$

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

$$P = a + b + c$$

$$104 = a + \sqrt{41}x + c$$

Так как $c$ равно $b$, то $c = \sqrt{41}x$. Мы также можем выразить $a$ через $x$ и подставить это в уравнение:

$$a = 2b = 2\sqrt{41}x$$

$$104 = 2\sqrt{41}x + \sqrt{41}x + \sqrt{41}x$$

$$104 = 4\sqrt{41}x$$

$$x = \frac{104}{4\sqrt{41}}$$

$$x = \frac{26}{\sqrt{41}}$$

Теперь, зная $x$, мы можем найти $b$, $c$, и $a$:

$$b = \sqrt{41}x = \frac{26}{\sqrt{41}} \cdot \sqrt{41} = 26$$

$$c = \sqrt{41}x = \frac{26}{\sqrt{41}} \cdot \sqrt{41} = 26$$

$$a = 2\sqrt{41}x = 2 \cdot \frac{26}{\sqrt{41}} \cdot \sqrt{41} = 52$$

Итак, стороны треугольника равны $a = 52$, $b = 26$