Question

Точка O — середина биссектрисы AM треугольника ABC. На стороне AC отмечена точка D такая, что DO ⊥ AM. Докажите, что DM || AB.

Answer 1

Ответ: Однозначно параллельны

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что DM || AB, давайте рассмотрим данные условия и используем свойства треугольников и биссектрис.

Пусть точка O - середина биссектрисы AM треугольника ABC, а точка D - точка на стороне AC такая, что DO ⊥ AM.

Сначала докажем, что треугольники ADO и ODM подобны.

1. Так как O - середина биссектрисы AM, то AO = OM (по определению середины), и угол AOM = углу DOM (поскольку они смежные углы при пересечении AM и OD). Таким образом, треугольники AOM и DOM равнобедренные и подобны по признаку "под-под-под".

2. Также у нас есть DO ⊥ AM, поэтому угол ADO = углу ODM, так как они являются вертикальными углами.

Из пункта 1 и пункта 2 следует, что треугольники ADO и ODM подобны по двум углам.

Теперь, имея подобные треугольники, мы можем утверждать следующее:

Отношение соответствующих сторон треугольников равно отношению их высот к соответствующим сторонам (по теореме о подобных треугольниках): AD / OD = AO / OM

Но так как AO = OM (по определению середины биссектрисы), то это уравнение принимает вид: AD / OD = 1

Отсюда следует, что AD = OD.

Это означает, что треугольник ADO равнобедренный, и соответственно, угол AOD равен углу ODA.

Из равенства углов AOD и ODA следует, что угол ABD (который является вертикальным углом к углу ADB) также равен углу ADO. А так как ADO - равнобедренный треугольник, то угол ADO равен углу DAO (половина угла A), и, следовательно, угол ABD равен углу DAO.

Теперь, так как угол ABD равен углу DAO, и угол DAO равен половине угла A, то угол ABD также равен половине угла A.

А это и означает, что линия DM параллельна стороне AB, так как угол ADB (соответствующий уголу ABD) также равен половине угла A, и это следует из свойства биссектрисы треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что DM || AB.