Question

У трикутник NKL вписано коло з центром О. Точки A, B, C – точки дотику кола відповідно до сторін KL, LN, NK. Доведіть, що AK+BL=CK+АL.

Answer 1

Ответ: Равенство верное

Объяснение:во вложении

Answer 2

Для доведення рівності AK + BL = CK + AL використаємо теорему про трикутники, вписані в коло.

У нашому випадку, оскільки коло вписане в трикутник NKL, то згідно з властивостями вписаного кола, кут KOL є півтора кута KBL (див. кутову властивість дотичних до кола). Аналогічно, кути LOM і MOK дорівнюють півтора кута KAL і півтора кута KAC відповідно.

Ми знаємо, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам. Отже, ми можемо записати наступні рівності:

KOL + LOM + MOK = 180 (1)

KOL = 1.5 * KBL (2) LOM = 1.5 * KAL (3) MOK = 1.5 * KAC (4)

Підставимо значення (2), (3) і (4) у (1):

1.5 * KBL + 1.5 * KAL + 1.5 * KAC = 180

Скоротимо на 1.5:

KBL + KAL + KAC = 120 (5)

Розглянемо тепер трикутник ABC.

Оскільки AB, BC і CA є дотичними до кола, то кути KAB, KBC і KCA є прямими кутами (див. властивості дотичних до кола).

Отже, в трикутнику ABC маємо:

KAB + KBC + KCA = 180 (6)

Але з (5) і (6) випливає, що:

KBL + KAL + KAC = KAB + KBC + KCA

За властивістю протилежних кутів у вписаному чотирикутнику AKLC маємо:

KAL + KAC = KBL + KBC

Підставимо цю рівність у попереднє рівняння:

KBL + KAL + KAC = KBL + KBC + KCA

Скоротимо KBL:

KAL + KAC = KBC + KCA

Це означає, що AK + AL = BC + CA.

За властивістю вписаного кута маємо:

BC = CK і CA = BL

Тому:

AK + AL = CK + BL

Тим самим ми довели рівність AK + BL = CK + AL.