Question

286. Найти точки пересечения между кругами:x² + y² – 8x – 4y + 15 = 0 и x² + y² + 8x – 12y + 7 = 0.​

Answer 1

Ответ:

Пересечение (2; 3)

Объяснение:

В т. пересечения x и y одного круга = x и y другого круга. Т.е. для нахождения т. пересечения нужно решить систему уравнений

x² + y² – 8x – 4y + 15 = 0

x² + y² + 8x – 12y + 7 = 0

Умножим 1-ое уравнение на -1 и сложим

8x + 8x - 12y + 4y +7 - 15 = 0

16x - 8y - 8 = 0

разделим на 8

2x - y - 1 = 0

y = 2x - 1

Подставим полученное выражение для y в 1-ое уравнение:

x² + 4x² - 4x + 1 - 8x - 8x + 4 + 15 = 0

5x² - 20x + 20 = 0

разделим на 5

x² - 4x + 4 = 0

(x - 2)² = 0

x1 = x2 = 2

два корня совпадают, значит две точки пересечения совпадают, т.е. круги касаются друг друга.

y = 2x - 1 = 4 - 1 = 3

Точка касания x = 2; y = 3 или (2; 3)

Данное решения можно проверить приведя уравнения окружности к стандартному виду и построив графики. см. рисунок.

Answer 2

Для начала, приведем уравнения кругов к общему виду (x - a)² + (y - b)² = r², где (a, b) - координаты центра круга, r - радиус круга.

Первое уравнение: x² + y² - 8x - 4y + 15 = 0 Перенесем слагаемые без x и y в правую часть: x² - 8x + y² - 4y = -15 Завершим квадрат для x и y, добавив недостающие слагаемые: (x² - 8x + 16) + (y² - 4y + 4) = -15 + 16 + 4 (x - 4)² + (y - 2)² = 5²

Таким образом, у первого круга центр находится в точке (4, 2), а радиус равен 5.

Второе уравнение: x² + y² + 8x - 12y + 7 = 0 Перенесем слагаемые без x и y в правую часть: x² + 8x + y² - 12y = -7 Завершим квадрат для x и y, добавив недостающие слагаемые: (x² + 8x + 16) + (y² - 12y + 36) = -7 + 16 + 36 (x + 4)² + (y - 6)² = 45²

Таким образом, у второго круга центр находится в точке (-4, 6), а радиус равен √45.

Точки пересечения между кругами можно найти, решив систему уравнений:

(x - 4)² + (y - 2)² = 5² (x + 4)² + (y - 6)² = 45

Можно решить эту систему уравнений численно или с помощью графического метода. Чтобы получить точные значения, нужно применить численные методы или алгоритмы.