Question

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит ее на отрезки в отношении 1:9. В каком отношении делит гипотенузу опущенная на нее биссектриса? (ответ 1:3, мне нужно объяснение)

Answer 1

Ответ: 1:3

Прямоугольный треугольник с катетами а и b, гипотенуза с=10х, высотa делит гипотенузу на отрезки 1х и 9х. По метрическому соотношению сторон прямоугольного треугольника

а^2=х*10х=10х^2, b^2=9x*10x=90x^2. Отсюда а=х|/10, b=x|/90=3x|/10.

По свойству биссектрисы отрезки, на которые разбивает основа биссектрисы сторону, пропорциональны двум другим сторонам, в нашем случае катетам. Тогда а:b=(x|/10):(3x|/10)=1:3.

Answer 2

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC - высота, опущенная на гипотенузу, и AC - вторая катет. Дано, что высота BC делит гипотенузу AB в отношении 1:9, то есть AB = 9 * BC.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: через его гипотенузу и высоту, и через его катеты:

1. По формуле площади треугольника: S = 0.5 * AB * BC
2. По формуле площади треугольника: S = 0.5 * AC * BC

Поскольку оба выражения равны площади одного и того же треугольника, можно приравнять их:

0.5 * AB * BC = 0.5 * AC * BC

Исключим BC из обеих сторон уравнения, так как он не равен нулю:

AB = AC

Теперь у нас есть равенство гипотенузы и одного из катетов прямоугольного треугольника. Это означает, что данный треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины угла при основании, делит противолежащую сторону (в данном случае гипотенузу) на две отрезка, пропорциональные длинам катетов. То есть, если гипотенуза AB делится биссектрисой в отношении x:y, то x/y = AC/BC.

Мы знаем, что AB = 9 * BC, таким образом:

x/y = AC/BC = AB/BC = 9

Следовательно, x = 9y.

Изначально было дано, что высота BC делит гипотенузу AB в отношении 1:9, таким образом, x = 1 и y = 9. Поэтому биссектриса делит гипотенузу в отношении 1:9.

Ответ: Гипотенуза делится биссектрисой в отношении 1:9.