Question

Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку B, вторично пересекает ω1 и ω2 в точках C и D соответственно. Касательные, проведённые к ω1 в точке C и к ω2 в точке D, пересекаются в точке O. Известно, что угол между касательными, проведёнными в точке A к ω1 и ω2, равен 72∘. Чему может быть равен угол COD?

Answer 1

ABC =∪AC/2, ABD =∪AD/2

ABC+ABD =180 => ∪AC+∪AD =360 => ∪AC'=∪AD

(∪AC', дополняющая ∪AC до окружности, равна ∪AD)

E =180-∪AD =180-∪AC' =F (угол между касательными из одной точки)

EAF=EOF (из треугольников AGE, OGF)

COD =180-EAF

Угол COD равен 108 или 72, смотря какой из смежных углов между касательными считать данным.

Answer 2

Обозначим угол между касательными, проведёнными в точке A к окружностям ω1 и ω2, как угол α. Так как дано, что угол между этими касательными равен 72°, то α = 72°.

Также заметим, что так как угол между хордой и касательной, проведённой к окружности, равен углу между хордой и диаметром, то угол BCA равен углу BDA и в свою очередь равен половине центрального угла BOD (угол BOD/2).

Из этого можно сделать следующие выводы:

1. Угол BCA = угол BDA = угол BOD/2.
2. Угол ACD (угол между хордой AD и касательной к окружности ω1 в точке C) равен углу BOD (центральный угол, опирающийся на тот же дугу AD).

Теперь у нас есть несколько равенств углов:

1. Угол BCA = угол BDA = угол BOD/2.
2. Угол ACD = угол BOD.

Так как угол ACD = угол BOD, то мы можем заметить, что угол BCA = угол BOD/2 = угол ACD/2. Это означает, что угол BCA делится пополам углом ACD.

Так как у нас уже известно, что угол α между касательными к окружностям ω1 и ω2 в точке A равен 72°, то угол BAC = 72°/2 = 36°.

Теперь мы знаем угол BCA и угол BAC, и можем найти угол BAC - BCA = 36° - 72°/2 = 36° - 36° = 0°.

Таким образом, угол COD может быть равен 0°.