Question

Как схематически набросить график x^2/25-y^2/16=1 Там нужны асимптоты в основном И в центре еще вроде какой-то прямоугольник получается (но это не точно)

Answer 1

$\dfrac{x^2}{25} -\dfrac{y^2}{16} =1$

$\dfrac{x^2}{5^2} -\dfrac{y^2}{4^2} =1$

Это гипербола с большей полуосью $a=5$ и меньшей полуосью $b=4$.

Асимптоты гиперболы: $y=\pm\dfrac{b}{a} x=\pm\dfrac{4}{5} x$

Изобразить асимптоты и график может помочь прямоугольник размера $2a\times2b=10\times8$ со сторонами, параллельными осям координат, проходящий через точки $(a;\ 0);\ (-a;\ 0);\ (0;\ b);\ (0;\ -b)$. Асимптоты проходят через противоположные вершины прямоугольника.

Сам график касается этого прямоугольника в точках $(a;\ 0);\ (-a;\ 0)$, то есть в точках $(5;\ 0);\ (-5;\ 0)$. Далее график приближается к асимптотам. Для более точного построения можно просчитать пару точек.

Answer 2

Давайте визуализируем уравнение $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ с учетом асимптот и центрального прямоугольника.

Первым шагом будет выразить уравнение в форме, удобной для построения графика: $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$

Умножим обе стороны на $25 \cdot 16$ для избавления от знаменателей: $16x^2 - 25y^2 = 400$

Теперь делим обе стороны на $400$, чтобы получить уравнение в стандартной форме: $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = \frac{1}{400}$

Теперь мы видим, что это гипербола с центром в начале координат.

Схематический график будет выглядеть следующим образом:

1. Нарисуем асимптоты: Асимптоты для данной гиперболы будут вертикальной и горизонтальной. Уравнение вертикальной асимптоты: $x = 0$, а уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

2. Добавим центральный прямоугольник: Средние точки между асимптотами можно использовать, чтобы нарисовать прямоугольник. Размеры этого прямоугольника могут быть подобраны на глаз.

3. Построим саму гиперболу, учитывая, что она стремится к асимптотам по мере удаления от начала координат.

Помните, что эта визуализация будет только схематической, и масштабы могут быть неправильными. Лучше использовать математическое программное обеспечение или графический инструмент для точного построения.