Question

Разность между образующей конуса и его высотой равна 4см,а угол между ними равен 60.Вычислите обьем конуса

Answer 1

Ответ:

64π ......................

Answer 2

Давайте обозначим образующую конуса как $l$ (в сантиметрах) и его высоту как $h$ (в сантиметрах). У нас дано:

1. Разность между образующей и высотой: $l - h = 4$ см,
2. Угол между образующей и высотой: $60^\circ$.

Из геометрических свойств конуса мы знаем, что образующая, высота и радиус (половина диаметра) образуют прямоугольный треугольник, где угол между образующей и высотой равен $60^\circ$.

Из этого треугольника мы можем найти связь между радиусом $r$ и высотой $h$:

$\tan(60^\circ) = \frac{r}{h}$, $\sqrt{3} = \frac{r}{h}$, $r = h \cdot \sqrt{3}$.

Так как образующая конуса это гипотенуза треугольника, то:

$l^2 = r^2 + h^2$, $l^2 = (h \cdot \sqrt{3})^2 + h^2$, $l^2 = 3h^2 + h^2$, $l^2 = 4h^2$, $h^2 = \frac{l^2}{4}$, $h = \frac{l}{2}$.

Теперь у нас есть выражение для высоты через образующую: $h = \frac{l}{2}$.

Объём конуса можно вычислить по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставляем $r = h \cdot \sqrt{3}$ и $h = \frac{l}{2}$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(h \cdot \sqrt{3}\right)^2 \cdot \frac{l}{2}$ $V = \frac{\pi}{3} \cdot 3h^2 \cdot \frac{l}{2}$ $V = \pi h^2 \cdot \frac{l}{2}$

Теперь заменяем $h = \frac{l}{2}$:

$V = \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2 \cdot \frac{l}{2}$ $V = \pi \cdot \frac{l^2}{4} \cdot \frac{l}{2}$ $V = \frac{\pi l^3}{8}$

Таким образом, объём конуса равен $\frac{\pi l^3}{8}$ кубических сантиметров.