Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 і 24 см найдите квадрат бисектрисы трекугольника проведеной с вершины его малого острого угла

Answer 1

Ответ:

640

Объяснение:

1) Воспользуемся формулой:

Длина L равна  = Длину катета (прилежащего к углу, из которого проведена биссектриса) умножить на корень квадратный из дроби, в числителе которой длина гипотенузы, умноженная на 2, а в знаменателе - суммы длины гипотенузы и этого катета (который вместе с гипотенузой образует угол, из которого проведена биссектриса).

2) Длина гипотенузы:

√  18^2 + 24^2 = √ 324 + 576 = √ 900 = 30

3) Против меньшего угла лежит меньшая сторона. Значит, угол, из которого проведена биссектриса, образован катетом 24 см и гипотенузой 30 см.

L = 24 * √ 2*30 / (30+24)

4) Находим квадрат этой величины:

L^2 = 576 * 2*30 / (30+24) = 34560 / 54 = 640.

Проверка.

Корень квадратный из 640 ≈ 25,3 см - это больше, чем катет 24, но меньше, чем гипотенуза 30 см. Значит, отрезок лежит в плоскости треугольника.  

Ответ: 640.

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a = 18$ см, а $b = 24$ см. Также пусть $c$ будет гипотенузой треугольника, $h$ - высотой, опущенной на гипотенузу из вершины большого острого угла, и $m$ - половиной длины биссектрисы, проведенной из вершины малого острого угла.

Сначала давайте найдем длину гипотенузы $c$ с помощью теоремы Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 18^2 + 24^2$ $c^2 = 324 + 576$ $c^2 = 900$ $c = \sqrt{900}$ $c = 30$

Теперь найдем площадь треугольника с двумя способами: через длину основания и высоту, а также через длины катетов:

1. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ $h = \frac{S \cdot 2}{a}$ $h = \frac{ab}{c}$ $h = \frac{18 \cdot 24}{30}$ $h = 14.4$

2. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24$ $S = 216$

Теперь у нас есть два способа найти площадь треугольника. По свойствам биссектрисы треугольника, мы можем использовать следующее соотношение:

$m^2 = ab \cdot \frac{(a + c - b)(b + c - a)}{(a + c + b)(a + c + b)}$

Подставляя известные значения: $m^2 = 18 \cdot 24 \cdot \frac{(18 + 30 - 24)(24 + 30 - 18)}{(18 + 30 + 24)(18 + 30 + 24)}$

После вычислений: $m^2 = 7776 \cdot \frac{600}{3384}$ $m^2 = 13824 \cdot \frac{25}{1416}$ $m^2 \approx 245$

Итак, квадрат биссектрисы треугольника, проведенной из вершины его малого острого угла, составляет примерно 245 квадратных сантиметров.