Question

Дан параллелограмм. Его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите что его стороны равны.​

Answer 1

Диагонали в параллелограмме делят друг друга на равные части. Получаются 4 равных треугольника, следовательно стороны равны.

Answer 2

Пусть ABCD - параллелограмм, а AC и BD - его диагонали. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть AC ⊥ BD.

Рассмотрим треугольники ABC и ABD. У них общая сторона AB и две пары перпендикулярных сторон: AC ⊥ BD и BC ⊥ AD. Из данной информации следует, что треугольники ABC и ABD являются прямоугольными.

Теперь рассмотрим противоположные стороны параллелограмма. AC и BD - диагонали, и они пересекаются в точке O. Поскольку AC ⊥ BD, то треугольники AOC и BOD тоже являются прямоугольными.

В прямоугольных треугольниках все стороны, выходящие из прямого угла, равны. Таким образом, получаем:

AB = AB (общая сторона) BC = AD (в треугольниках ABC и ABD) AC = BD (в треугольниках AOC и BOD)

Таким образом, мы доказали, что все стороны параллелограмма равны.