Question

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите ∠C, если ∠AMB = 111 градусов

Answer 1

Ответ:42⁰

Объяснение:AM - биссектриса  ⇒   ∠BAC = 2∠BAM

BM - биссектриса  ⇒   ∠ABC = 2∠ABM

В  ΔABM имеем: ∠AMB = 111°  ⇒

∠BAM + ∠ABM = 180° - ∠AMB = 180° - 111° = 69°  ⇒

2(∠BAM + ∠ABM) = 2*69°

2∠BAM + 2∠ABM = 138°

∠BAC + ∠ABC = 138°

Тогда в ΔABC:  ∠C = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 138⁰ = 42°

Ответ: ∠C = 42°

Answer 2

Чтобы найти угол C треугольника ABC, зная, что угол AMB = 111 градусов и биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, мы можем использовать свойство биссектрисы.

Свойство биссектрисы гласит, что она делит противолежащий ей угол пополам. Таким образом, угол AMC (угол между биссектрисой угла A и стороной AC) равен углу MAB (половине угла A):

∠AMC = 1/2 * ∠A

Аналогично, угол BMC (угол между биссектрисой угла B и стороной BC) равен углу MBF (половине угла B):

∠BMC = 1/2 * ∠B

Теперь мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Известно, что ∠AMC и ∠BMC равны половине соответствующих углов A и B:

∠AMC = 1/2 * ∠A ∠BMC = 1/2 * ∠B

Теперь мы можем записать уравнение для суммы углов в треугольнике ABC:

1/2 * ∠A + 1/2 * ∠B + ∠C = 180°

Теперь подставим данные из условия: ∠AMB = 111 градусов:

1/2 * 111° + 1/2 * 111° + ∠C = 180°

Упростим уравнение:

55.5° + 55.5° + ∠C = 180°

Теперь выразим ∠C:

∠C = 180° - 55.5° - 55.5° ∠C = 180° - 111° ∠C = 69°

Таким образом, угол C треугольника ABC равен 69 градусам.