Question

Дан треугольник ABC, в котором ∠A = α, ∠B = β. На стороне AB взята точка D, а на стороне AC – точка M, причём CD – биссектриса треугольника ABC, DM || BC и AM = a. Найдите CM.​

Answer 1

Объяснение:

ДМ║ВС, ДС - секущая ⇒ ∠ВСД=∠МДС - как внутренние накрест лежащие углы, но ∠ВСД = ∠МСД, т.к. СД - биссектриса ⇒

∠МДС=∠МСД.

Это  углы при основании ДС треугольника ΔДСМ ⇒ этот треугольник равнобедренный: ДМ=СМ=х

Рассмотрим ΔАДМ.

∠АДМ = ∠АВС = β - как внутренние односторонние углы при параллельных прямых ДМ и ВС и секущей АВ

По теореме синусов имеем:

$\frac{a}{sin$

$\frac{a}{sin \beta } = \frac{x}{sin \alpha }$

$x=\frac{asin\alpha }{sin\beta }$

Т.к. СМ=ДМ, то СМ= а* sinα / sinβ

Answer 2

Для решения этой задачи вам придется использовать несколько геометрических и алгебраических свойств треугольников. Давайте рассмотрим следующие факты:

1. Так как CD - биссектриса треугольника ABC, то у нас есть следующее равенство:

   BD / AB = CD / AC

2. Так как DM || BC, то у нас есть следующее равенство соответствующих углов:

   ∠DAM = ∠BAC = α

3. Мы знаем, что AM = a.

Теперь давайте приступим к решению:

Сначала найдем BD, используя отношение биссектрисы:

BD / AB = CD / AC

BD / (a + CM) = CD / AC

Теперь найдем BD, используя соответствие углов в треугольнике ADM:

tan(α) = DM / AM

DM = a * tan(α)

Теперь у нас есть выражение для BD, которое мы можем подставить в предыдущее уравнение:

(a * tan(α)) / (a + CM) = CD / AC

Теперь нам нужно найти CM. Мы знаем, что AM = a и DM = a * tan(α), поэтому AC = AM + CM = a + CM.

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

(a * tan(α)) / (a + CM) = CD / (a + CM)

Теперь давайте умножим обе стороны на (a + CM) для упрощения:

a * tan(α) = CD

Теперь у нас есть выражение для CD, и мы знаем, что CD = CM + MD. Подставим значение MD:

a * tan(α) = CM + a * tan(α)

Теперь выразим CM:

CM = a * tan(α) - a * tan(α)

CM = 0

Таким образом, получается, что CM = 0.