Question

Центр O окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC, лежит на биссектрисе угла BAC. Кроме того, он лежит на окружности, проходящей через середины сторон AB и AC (точки С1 и B1 соответственно) и вершину А. Найдите AB, если AC=2, а BC=√28

Answer 1

Ответ:

Средние линии (A1B1, B1C1, A1C1) равны половинам сторон.

Треугольники A1B1C1 и AB1C1 равны по трем сторонам.

Следовательно равны радиусы описанных около них окружностей .

Треугольники C1QO и B1QO - равносторонние.

C1QB1 =60+60 => A=60 (вписанный угол равен половине центрального)

Теорема косинусов

BC^2 =AB^2 +AC^2 -2AB*AC*cosA =>

28 =AB^2 +4 -2AB => AB=6

Объяснение:

ОТВЕТ :6

Answer 2

Давайте обозначим следующие точки и отрезки:

1. Пусть точка O - центр окружности, проходящей через середины сторон AB и AC, а также вершину A. По условию, это точка B1C1A.
2. Точка M - середина стороны AB.
3. Точка N - середина стороны AC.
4. Точка D - точка пересечения биссектрисы угла BAC и окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Сначала найдем длину отрезка AD.

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, она делит сторону BC пополам, и мы имеем BD = DC = BC/2. Так как BC = √28, то BD = DC = √28/2 = √7.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BOD. Он прямоугольный, и мы знаем длины двух его сторон: BD = √7 и BO (радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC). Мы хотим найти длину AD, которая является высотой этого треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора:

BO² = BD² + OD²

OD² = BO² - BD² OD² = (BO - BD) * (BO + BD) OD² = (BO - √7) * (BO + √7)

Так как O - центр окружности, проходящей через середины сторон AB и AC, то BO равен половине длины AB:

BO = AB/2

Теперь мы можем заменить BO в уравнении:

OD² = (AB/2 - √7) * (AB/2 + √7) OD² = (AB/2)² - (√7)² OD² = (AB²/4) - 7

Теперь у нас есть значение OD², но нам нужно найти AD, которая равна OD. Для этого выразим AD:

AD = √(OD²) AD = √((AB²/4) - 7)

Теперь мы знаем, что AD лежит на биссектрисе угла BAC, и мы можем использовать подобие треугольников для нахождения AB.

Сначала рассмотрим треугольник ACD и треугольник ABC:

AD/AC = BD/BC

Подставим известные значения:

√((AB²/4) - 7)/2 = √7/√28

Теперь упростим уравнение:

√((AB²/4) - 7) = √7/√28 * 2 √((AB²/4) - 7) = √(7/4)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(AB²/4) - 7 = 7/4

Теперь добавим 7 к обеим сторонам:

AB²/4 = 7/4 + 7

AB²/4 = (7 + 28)/4

AB²/4 = 35/4

Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от деления на 4:

AB² = 35

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

AB = √35

Итак, длина стороны AB равна √35.