Question

35 БАЛЛОВ ДАЮ Центр O окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC, лежит на биссектрисе угла BAC. Кроме того, он лежит на окружности, проходящей через середины сторон AB и AC (точки С1 и B1 соответственно) и вершину А. Найдите AB, если AC=2, а BC=√28

Answer 1

Средние линии (A1B1, B1C1, A1C1) равны половинам сторон.

Треугольники A1B1C1 и AB1C1 равны по трем сторонам.

Следовательно равны радиусы описанных около них окружностей .

Треугольники C1QO и B1QO - равносторонние.

C1QB1 =60+60 => A=60 (вписанный угол равен половине центрального)

Теорема косинусов

BC^2 =AB^2 +AC^2 -2AB*AC*cosA =>

28 =AB^2 +4 -2AB => AB=6

Answer 2

Давайте обозначим точку O как центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC, и точку B1 как середину стороны AC. Также обозначим точку C1 как середину стороны AB. Поскольку O лежит на биссектрисе угла BAC, то угол BOA равен углу COA.

Теперь рассмотрим треугольник ABO. У нас есть два равных угла: угол BOA и угол B1CA (поскольку B1C1 является диаметром окружности, проходящей через середины сторон AB и AC). Таким образом, треугольник ABO подобен треугольнику AC1B1 по углам.

Мы знаем, что AC = 2 и BC = √28. Мы можем использовать соотношение подобия треугольников, чтобы найти отношение AB к B1C1:

(AB / B1C1) = (AC / AC1) = (2 / (1/2)) = 4.

Теперь нам нужно найти B1C1. Поскольку B1C1 является половиной стороны AC, то B1C1 = AC / 2 = 2 / 2 = 1.

Теперь мы можем найти AB:

AB = (AB / B1C1) * B1C1 = 4 * 1 = 4.

Итак, длина стороны AB равна 4.