Question

У трапецій АВСD з основами ВС і AD проведені ьісектрисикутів А і В до перетину з основами в точках N і K відповідно AB=5см . Знайдіть довжину відрізка АК . Знайдіть периметр чотирикутника ABNK.

Answer 1

Ответ:

Длина отрезка AK=5см

Периметр ABNK равен 20 см

Объяснение:

В трапеции с основами BC и AD проведены биссектрисы углов А и В до пересечения с основами в точках N и K соответственно. AB=5см. Надо найти: 1) длину отрезка AK, 2) периметр ABNK.

AN - биссектриса ∠А.

Следовательно ∠BAN=∠KAN - по свойству биссектрисы.

Но ∠KAN=∠ANB - как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Значит ∠BAN=∠ANВ.

Следовательно △АВN - равнобедренный с основанием AN.

• Если у треугольника два угла равны, то треугольник является равнобедренным.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.

ВО - биссектриса угла В по условию, следовательно ВО является также медианой △ABN:

AO=ON.

BK - биссектриса ∠B.

Следовательно ∠ABK=∠NBK - по свойству биссектрисы.

Но ∠NBK=∠AKB - как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BK.

Значит ∠ABK=∠AKB.

Следовательно △ABK - равнобедренный с основанием BK.

Биссектриса AO равнобедренного △ABK является также медианой, поэтому:

BO=OK.

Мы получили, что в четырёхугольнике ABNK диагонали AN и BK точкой пересечения делятся пополам.

Значит ABNK - параллелограмм.

• Если в четырёхугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Биссектриса AO является также высотой △ABK, поэтому:

AO⟂BK.

• Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то данный параллелограмм является ромбом.

Значит ABNK - ромб

Так как в ромбе все стороны равны, то:

AK=AB=5 см

Периметр ромба - это сумма всех его сторон, а так как стороны равны, то:

Р(ABNK)=4•AB=4•5=20см

#SPJ5

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку ми знайдемо довжину відрізка АК, а потім знайдемо периметр чотирикутника ABNK.

1. Знаходження довжини відрізка АК: Оскільки відрізок AN є бісектрисою кута A, і BN є бісектрисою кута B, то ми можемо використовувати теорему про бісектриси для трапеції. За цією теоремою, ми можемо записати наступну рівність:

   (BN / NA) = (BD / AD)

   Де:

   • BN - довжина відрізка BN
   • NA - довжина відрізка NA
   • BD - довжина більшої основи трапеції (BC)
   • AD - довжина меншої основи трапеції (CD)

   Знаючи, що BD = BC і AD = CD (оскільки вони є протилежними сторонами трапеції), ми можемо підставити значення та розв'язати для BN / NA:

   (BN / NA) = (BC / CD) = (BC / AD)

   За умовою задачі AB = 5 см, тобто BC = 5 см. Таким чином, ми маємо:

   (BN / NA) = (5 см / AD)

   Тепер нам потрібно знайти довжину відрізка AD, а потім ми зможемо знайти BN / NA. Оскільки трапеція ABCD є вигнутою фігурою, нам потрібно знайти довжину AD за допомогою інших даних. Якщо у вас є додаткова інформація про кутові величини або додаткові розміри фігури, ви зможете знайти AD. В іншому випадку, ми не зможемо точно знайти довжину відрізка АК.

2. Знаходження периметра чотирикутника ABNK: Щоб знайти периметр чотирикутника ABNK, нам потрібно знати довжини всіх його сторін (AB, BN, NK та KA). Оскільки ми не маємо точної інформації про довжину відрізка АК, ми не можемо знайти периметр чотирикутника ABNK.