Question

Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, разница которых равна 5 см. Найдите длину гипотенузы треугольника, если отношение катетов равняется 3:4.

Answer 1

Ответ:

Биссектриса делит прямой угол на два угла по 45°, катеты относятся друг к другу как 3:4, следовательно, получившиеся треугольники подобны и части гипотезы также относятся друг к другу как 3:4. Пусть меньшая сторона равна х, большая х+5, тогда:

х : х+5 = 3 : 4

3х+15=4х

х=15

х+5=15+5=20

2х+5=35 см - вся гипотенуза

Answer 2

Давайте обозначим длину гипотенузы как "c", а длины катетов как "a" и "b". По условию задачи, известно, что отношение катетов равно 3:4, то есть:

a/b = 3/4

Также известно, что биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на два отрезка, разница которых равна 5 см. Это означает, что:

c/4 - c/3 = 5

Давайте решим этот уравнение:

Сначала найдем общий знаменатель:

12(c/4) - 12(c/3) = 5

Упростим числители:

3c - 4c = 5

Теперь выразим "c":

-c = 5

Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от минуса:

c = -5

Однако длина не может быть отрицательной, поэтому ошибка в знаке. Это означает, что мы сделали ошибку при предположении о том, как делит биссектриса гипотенузу. Давайте попробуем другой подход.

Мы знаем, что биссектриса делит гипотенузу так, что разница между двумя отрезками равна 5 см, а отношение катетов 3:4. Мы можем представить гипотенузу как сумму этих двух отрезков:

c = a + b

Также, зная, что отношение катетов равно 3:4, мы можем представить длины катетов как:

a = 3x b = 4x

Теперь мы можем записать уравнение для гипотенузы:

c = 3x + 4x

c = 7x

Теперь у нас есть выражение для гипотенузы в терминах x. Мы также знаем, что разница между этими двумя отрезками равна 5 см:

4x - 3x = 5

x = 5

Теперь мы знаем значение x, и мы можем найти длину гипотенузы:

c = 7x = 7 * 5 = 35 см

Итак, длина гипотенузы треугольника равна 35 см.