Question

У нижній Основі циліндра проведено хорду Яка знаходиться на відстані d від центра верхньої остови І яку видно із цього центра під кутом a. Відрізок який сполучає центр верхньої основи основи з точкою кола нижньої основи кут b. Знайдіть об’єм циліндра

Answer 1

Ответ:

V = π•d³•cos²b•sinb/cos³(a/2)

Объяснение:

Перевод и дополнение: В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии d от центра верхней основы и которую видно из этого центра под углом a. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол b. Найдите объем цилиндра.

Дано (см. рисунок):

 Цилиндр

 О – центр (окружности) нижнего основания цилиндра

 O₁ – центр (окружности) верхнего основания цилиндра

 AB – хорда в нижнем основании цилиндра

 ∠AO₁B = a

 ∠O₁AO = ∠O₁BO = b  

 O₁H = d  

Найти: объем цилиндра.

Решение.

В цилиндре высота h=OO₁ перпендикулярен к основаниям цилиндра и поэтому треугольники AOO₁ и BOO₁ являются прямоугольными.  

Так как радиусы основания  

OA = OB и ∠OAO₁ = ∠OBO₁ = b,  

то прямоугольные треугольники AOO₁ и BOO₁ равны (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу). Тогда O₁A = O₁B, то есть треугольник AO₁B равнобедренный с основанием AB. Следовательно, отрезок O₁H является биссектрисой и высотой треугольника AO₁B. Отсюда

∠AO₁H = ∠AO₁B/2 = a/2 и O₁A = O₁H/cos(a/2) = d/cos(a/2).

Далее, в прямоугольном треугольнике AOO₁ определим катеты:

sinb = OO₁/O₁A или OO₁ = O₁A•sinb = d•sinb/cos(a/2);

cosb = OA/O₁A или OA = O₁A•cosb = d•cosb/cos(a/2).

Объём цилиндра V определяется через площадь основания S и высоту h по формуле:

V = S•h = π•OA²•OO₁ = π•(d•cosb/cos(a/2))²•d•sinb/cos(a/2) =

= π•d³•cos²b•sinb/cos³(a/2).

Answer 2

Давайте спробуємо розглянути задачу крок за кроком.

1. Почнемо з того, що ми маємо циліндр, у якого нижня основа і верхня основа паралельні і розташовані на одній лінії. Це означає, що центр верхньої основи і центр нижньої основи знаходяться на одній прямій. Ми будемо позначати цю відстань як "h" - висоту циліндра.

2. Проведемо хорду через нижню основу циліндра. Якщо ця хорда знаходиться на відстані "d" від центра верхньої основи і має кут "a" щодо прямої, яка сполучає центр верхньої основи з центром нижньої основи, то ми можемо використовувати геометричні співвідношення для знаходження її довжини. Довжина такої хорди обчислюється за формулою:

   Довжина хорди = 2 * r * sin(a/2),

   де "r" - радіус циліндра.

3. Далі, ми можемо знайти кут "b", який утворює відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою на нижній основі кола. Оскільки ця точка знаходиться на колі, а коло має 360 градусів, то:

   b = 360 - 2a.

4. Тепер, ми можемо знайти об'єм циліндра. Об'єм циліндра обчислюється за формулою:

   Об'єм = площа основи * висота.

   Площа основи циліндра - це площа кола з радіусом "r". Вона обчислюється за формулою:

   Площа основи = π * r^2.

   Отже, об'єм циліндра буде:

   Об'єм = π * r^2 * h.

Це базові співвідношення для розв'язання вашої задачі. Ви повинні знати значення радіуса "r", висоту "h", кут "a" і можливо кут "b" для обчислення об'єму циліндра.