Question

Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1, BD и B1D1-медианы, причем AD в 3 раза больше A1D1. Найдите отношение периметров треугольников ABC и A1B1C1 с пояснением,пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

....................

Answer 2

Для начала давайте обозначим следующие величины:

Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC, а a1, b1 и c1 - длины сторон треугольника A1B1C1. Мы знаем, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны, и это означает, что соответствующие стороны пропорциональны.

Следовательно, мы можем записать следующие пропорции:

1. a/a1 = b/b1 = c/c1

Теперь нам дано, что BD - медиана треугольника ABC, и AD в 3 раза больше, чем A1D1. Это означает, что: 2. AD = 3 * A1D1

Мы знаем, что медиана треугольника делит ее стороны в отношении 2:1. Таким образом, BD делит сторону AC в отношении 2:1. Это можно записать как: 3. BD/DA = 2/1

Теперь мы можем использовать эти пропорции, чтобы найти отношение периметров треугольников ABC и A1B1C1.

Периметр треугольника ABC (P_ABC) выражается как сумма длин его сторон: P_ABC = a + b + c

Периметр треугольника A1B1C1 (P_A1B1C1) выражается как сумма длин его сторон: P_A1B1C1 = a1 + b1 + c1

Из пропорций, которые мы установили выше (a/a1 = b/b1 = c/c1), мы можем выразить a1, b1 и c1 в терминах a, b и c: a1 = a/k b1 = b/k c1 = c/k

где k - некоторая постоянная пропорциональности, которую мы должны найти. Мы также знаем, что AD = 3 * A1D1, и BD/DA = 2/1. Мы можем использовать это, чтобы найти k:

BD = 2 * DA A1D1 = 1/3 * AD

Теперь мы можем выразить BD и A1D1 в терминах a и k: BD = 2 * DA = 2 * (a - A1D1) = 2 * (a - (1/3) * AD) = 2 * (a - (1/3) * 3 * A1D1) = 2 * (a - A1D1) = 2 * (a - c1) = 2 * (a - c/k) A1D1 = 1/3 * AD = 1/3 * 3 * A1D1 = A1D1 = c1/3 = (c/k)/3 = c/(3k)

Теперь у нас есть выражения для BD и A1D1 в терминах a и k. Мы также знаем, что BD/DA = 2/1, поэтому: BD/DA = (2 * (a - c/k)) / (c/(3k)) = (2 * (a - c/k)) / (c/(3k)) = (2 * (a - c/k)) * (3k/c) = (2 * (a - c/k)) * (3/c) * k

Теперь мы можем решить это уравнение относительно k: 2 * (a - c/k) * (3/c) * k = 2 * (3k/c) * (a - c/k) = 2 * (3k/c) * (a - c/k) = 2 * (3k/c) * (ak/c - 1) = 6 * (ak - c) / c^2 = 6ak/c^2 - 6/c

Теперь у нас есть выражение для k: 6 * (ak/c^2) - 6/c = k

Теперь мы можем использовать это выражение для вычисления длин сторон треугольника A1B1C1 (a1, b1 и c1) в терминах a и c: a1 = a/k = a / (6 * (ak/c^2) - 6/c) b1 = b/k = b / (6 * (ak/c^2) - 6/c) c1 = c/k = c / (6 * (ak/c^2) - 6/c)

Теперь мы можем выразить отношение периметров треугольников ABC и A1B1C1: P_ABC / P_A1B1C1 = (a + b + c) / (a1 + b1 + c1) = (a + b + c) / (a / (6 * (ak/c^2) - 6/c) + b / (6 * (ak/c^2) - 6/c) + c / (6 * (ak/c^2) - 6/c))

Мы можем упростить это выражение: P_ABC / P_A1B1C1 = (a + b + c) / [(a + b + c) / (6 * (ak/c^2) - 6/c)] = 6 * (ak/c^2) - 6/c

Теперь мы можем узнать отношение периметров треугольников ABC и A1B1C1, исходя из данной информации.