Question

552.° Коло, вписане в трикутник ABC (рис. 308), дотикається до його сторін у точках М, кіE, BK = 2 см, кс = 4 см, AM = 8 см. Знайдіть периметр трикутника ABC. ADO ДАЮ 15 балов

Answer 1

ответ 28 см

обяс.

Дано:

О - центр кола, вписаного у ∆АВС. М, К, Е - точки дотику кола i сторін ∆АВС.

ВК = 2 см, КС = 4 см, AM = 8 см. Знайти: Р∆АВС.

Розв'язання:

За властивістю дотичних, проведених до кола iз однієї точки, маємо:

ВМ = ВК = 2 см, СК = СЕ = 4 см, АЕ = AM = 8 см.

За аксіомою вимирювання відрізків маємо:

АВ = АМ + MB = 8 + 2 = 10 (см);

АС = АЕ + ЕС = 8 + 4 = 12 (см);

ВС = ВК + КС = 2 + 4 = 6 (см).

Р∆АВС = АВ + ВС + AC;

Р∆АВС = 10 + 12 + 6 = 28 (см).

Biдповідь: 28 см.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі спочатку знайдемо довжину сторін трикутника ABC, а потім обчислимо його периметр.

У трикутнику ABC, коло, вписане в трикутник, торкається сторін у точках М, K та E. Оскільки KM є діаметром вписаного кола, то за властивістю вписаного кута маємо:

$AM + MK + AK = 2r,$

де r - радіус вписаного кола.

Дано:

• $BK = 2 \, \text{см},$
• $CK = 4 \, \text{см},$
• $AM = 8 \, \text{см}.$

Маємо кілька сторін та діагоналу трикутника:

1. $AB = AK + BK$
2. $BC = CK + BK$
3. $AC = AM + MC,$ де $MC$ - медіана трикутника з вершини A.

Знаємо, що $MK = r,$ тому отримуємо систему рівнянь:

$$\begin{align*} AK + 2 &= 2r, \quad &(1) \\ CK + 2 &= 2r, \quad &(2) \\ AM + MC &= 2r. \quad &(3) \end{align*}$$

Тепер знаходимо значення радіусу $r$ з рівнянь (1) та (2):

$r = \frac{AK + CK}{2} - 1.$

Тепер знаходимо значення MC (медіани):

$MC = \frac{2r - AM}{2} = r - \frac{AM}{2}.$

Підставимо значення $r$ та $MC$ в рівняння (3):

$AM + r - \frac{AM}{2} = 2r.$

Розкриваємо дужки та спрощуємо рівняння:

$AM + r - \frac{AM}{2} = 2r,$

$AM - \frac{AM}{2} = r,$

$r = \frac{AM}{2}.$

Тепер знаходимо значення $r$ та $MC$:

$r = \frac{8 \, \text{см}}{2} = 4 \, \text{см},$ $MC = r - \frac{AM}{2} = 4 \, \text{см} - \frac{8 \, \text{см}}{2} = 0 \, \text{см}.$

Тепер знаходимо довжини сторін трикутника ABC:

$$\begin{align*} AB &= AK + BK = 2r + BK = 2 \times 4 \, \text{см} + 2 \, \text{см} = 10 \, \text{см}, \\ BC &= CK + BK = 4 \, \text{см} + 2 \, \text{см} = 6 \, \text{см}, \\ AC &= AM + MC = 8 \, \text{см} + 0 \, \text{см} = 8 \, \text{см}. \end{align*}$$

Отже, периметр трикутника ABC дорівнює:

$P = AB + BC + AC = 10 \, \text{см} + 6 \, \text{см} + 8 \, \text{см} = 24 \, \text{см}.$

Отже, периметр трикутника ABC дорівнює 24 см.