Question

Похила утворює з площиною кут 30°. Знайдіть довжину похилої, якщо її проекція на площину дорівнює 4√3​

Answer 1

ОС — похила на площину α.

Проведемо перпендикуляр ОК до площини. KC = 4√3​ — проекція похилої на площину α.

Кутом між прямою та площиною є кут між нею та її проекцією на цю площину, тож ∠OCK = 30°.

Так як ОК ⊥ α, то ОК ⊥ КС і ΔОКС є прямокутним.

За означенням косинуса гострого кута прямок. трикутника:

$\displaystyle cos \angle OCK = \frac{KC}{OC}$.

Виразимо звідси ОС і підставимо числові значення:

$\displaystyle OC= \frac{KC}{cos \angle OCK} = \frac{4\sqrt{3} }{cos 30 \textdegree} = 4\sqrt{3}:\frac{\sqrt{3} }{2} = 4\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3} } = 4\cdot 2 = 8.$

Відповідь: 8.

Answer 2

Щоб знайти довжину похилої, можна скористатися правилом синусів для трикутників. У нашому випадку, маємо правильний трикутник, оскільки одна з його сторін утворює кут 30° з площиною.

Нехай $L$ - це довжина похилої сторони, а $P$ - довжина її проекції на площину. Тоді можна сформулювати наступне співвідношення за правилом синусів:

$$\frac{L}{\sin(30°)} = \frac{P}{\sin(90°)}$$

Оскільки $\sin(90°) = 1$ і $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, ми можемо спростити вираз:

$$L = 2P$$

Ми знаємо, що довжина проекції $P$ дорівнює $4\sqrt{3}$, отже:

$$L = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

Отже, довжина похилої сторони дорівнює $8\sqrt{3}$ одиниць.