Question

Висоти паралелограма, проведені до вершини з тупого кута дорівнюють 9 і 7. кут між висотами довірвнює 60° знайти площу паралелограма ​

Answer 1

Ответ:

126/√3    

Объяснение:

Задание

Высоты параллелограмма, проведенные к вершине из тупого угла, равны 9 и 7. Угол между высотами равен 60°. Найти площадь параллелограмма.

Решение

Обозначим: параллелограмм АВСD (угол В - тупой);

ВF = 7 - высота к стороне АD;  

BH = 9 - высота к стороне СD.

∠FBH = 60°.

Определение: высотой параллелограмма называется любой общий перпендикуляр двух его противоположных сторон.

1) Из определения высоты параллелограмма следует, что:

а) если ВF⊥АD, то ВF⊥ВС;

b) если BH⊥СD, то ВH⊥АВ.    

2) Так как BF⊥AD и BH⊥AB, то углы ВАF и FBH - это углы со взаимно перпендикулярными сторонами, а, согласно теореме об углах со взаимно перпендикулярными сторонами, углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны. Это значит, что:

∠ВАF = ∠FBH = 60°.

3) В прямоугольном треугольнике ABF (АВ - гипотенуза, ВF и AF - катеты) катет BF = 7 лежит против угла ВАF = 60°.

Катет (ВF)  равен гипотенузе (АВ), умноженной на синус угла (ВАF), противолежащего этому катету:

ВF = АВ · sin 60°

7 =  АВ · √3/2

АВ = 7 · 2 / √3 = 14/√3  

4) Площадь параллелограмма равна произведению основания (АВ) на высоту (ВН):

S = АВ · ВН = 14/√3  · 9 = 126/√3

Ответ: 126/√3    

Answer 2

Для знаходження площі паралелограма, нам спершу потрібно знайти його висоту та одну зі сторін.

1. Висоти паралелограма, проведені до вершини з тупого кута, дорівнюють 9 і 7 одиниць.

2. Кут між цими висотами дорівнює 60 градусів.

Для знаходження сторін паралелограма, ми можемо використовувати трикутник, утворений цими висотами. Застосуємо тригонометричні функції для цього трикутника.

За теоремою сінусів:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$

де a і b - сторони трикутника, A і B - протилежні кути.

У нашому випадку A - 60 градусів, a - 7 (одна з висот паралелограма), B - 120 градусів (так як сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів), і ми шукаємо b - іншу сторону паралелограма.

$\frac{7}{\sin(60^\circ)} = \frac{b}{\sin(120^\circ)}$

Знайдемо значення b:

$b = \frac{7 \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(60^\circ)}$

$b = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}$

$b = 7 \cdot 2 = 14 \text{ одиниць}$

Отже, одна зі сторін паралелограма дорівнює 14 одиниць.

Тепер ми можемо знайти площу паралелограма:

Площа паралелограма = сторона * висота = 14 * 9 = 126 квадратних одиниць.

Отже, площа цього паралелограма дорівнює 126 квадратних одиниць.