Question

Даны четыре точки A,B,C,D. Координаты точек А(1,0,2), B(-1,2,3), C( 2,3,1), D(3,2,4). Составить уравнение плоскости, проходящей 1) Через точку А и имеющий нормальный вектор 2) через точки A, B, C 2. Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, C

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

номер 1 в таком виде не решается, должен быть задан нормальный вектор. Остальное во вложении

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через указанными точкой и имеющей заданный нормальный вектор, а также для нахождения расстояния от точки до плоскости, воспользуемся уравнением плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, а (x, y, z) - координаты точек на плоскости.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1,0,2) и имеющей нормальный вектор (2, -1, 1):

У нас есть нормальный вектор (2, -1, 1) и точка A(1, 0, 2). Используем эти данные для составления уравнения плоскости:

2x - y + z + D = 0.

Теперь, чтобы найти D, подставим координаты точки A(1, 0, 2) в уравнение:

2(1) - (0) + (2) + D = 0, 2 - 0 + 2 + D = 0, 4 + D = 0.

D = -4.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки A и имеющей нормальный вектор (2, -1, 1), будет:

2x - y + z - 4 = 0.

2. Расстояние от точки D(3, 2, 4) до плоскости, проходящей через точками A, B, и C:

Для вычисления расстояния d от точки D до плоскости, воспользуемся формулой:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, (x, y, z) - координаты точки D, и (D) - константа из уравнения плоскости.

Мы уже знаем уравнение плоскости из предыдущего ответа: 2x - y + z - 4 = 0. Подставим координаты точки D(3, 2, 4) и найдем расстояние:

A = 2, B = -1, C = 1, D = -4, x = 3, y = 2, z = 4.

d = |2(3) - (-1)(2) + (1)(4) - 4| / √(2^2 + (-1)^2 + 1^2), d = |6 + 2 + 4 - 4| / √(4 + 1 + 1), d = |8| / √6, d = 4√6 / √6, d = 4.

Расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, и C, равно 4 единицам.