Question

Дано точки А(-1;-2;-1), B(-1;-1;0), C(-1; -1; -1). Знайдіть величину кута ВАС.

Answer 1

Відповідь:

45°

Пояснення:

Знайдемо координати векторів AB та AC. Вони дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора:

A(-1; -2; -1), B(-1; -1; 0) ==> AB(-1+1; -1+2; 0+1) = (0; 1; 1)

A(-1; -2; -1), C(-1; -1; -1) ==> AC(-1+1; -1+2; -1+1) = (0; 1; 0)

Величину ∠BAC обчислимо із скалярного добутку щойно знайдених векторів, між якими й розміщений цей кут. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат. Модуль вектора a(x, y, z) можна знайти за формулою

$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\vec{AB}*\vec{AC}=|AB|*|AC|*cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})==>cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{\vec{AB}*\vec{AC}}{|AB|*|AC|} \\cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{0*0+1*1+1*0}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}*\sqrt{0^2+1^2+0^2} } =\frac{0+1+0}{\sqrt{0+1+1}*\sqrt{0+1+0} }=\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Звідси ∠(AB, AC) = ∠BAC = 45°

Answer 2

Для знаходження величини кута між векторами вам спершу потрібно знайти ці вектори. Вектори можна знайти, віднімаючи координати точок. В даному випадку:

Вектор ВА = A - B = (-1, -2, -1) - (-1, -1, 0) = (-1, -1, -1) Вектор ВС = C - A = (-1, -1, -1) - (-1, -2, -1) = (0, 1, 0)

Тепер, для знаходження величини кута між цими векторами, використаємо формулу скалярного добутку векторів:

cos(θ) = (ВА · ВС) / (|ВА| * |ВС|)

Де θ - це кут між векторами, · позначає скалярний добуток, |ВА| - довжина вектора ВА, і |ВС| - довжина вектора ВС.

Довжину вектора можна знайти за допомогою формули:

|V| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Для вектора ВА: |ВА| = √((-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(1 + 1 + 1) = √3

Для вектора ВС: |ВС| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1

Тепер підставимо ці значення в формулу для косинуса кута:

cos(θ) = (ВА · ВС) / (|ВА| * |ВС|) = ((-1, -1, -1) · (0, 1, 0)) / (√3 * 1) = (-1 * 0 + (-1) * 1 + (-1) * 0) / (√3 * 1) = -1 / √3

Тепер знайдемо значення кута θ, використовуючи обернений косинус (арккосинус):

θ = arccos(-1 / √3)

Це дорівнює близько 109.47 градусам. Таким чином, величина кута ВАС дорівнює приблизно 109.47 градусам.